Astratto
L’assioma di scelta. Dimostrazione dell’equivalenza (in \(\mathit{ZF}\)) di alcune sue diverse formulazioni. La nozione di infinito secondo Dedekind.
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Notes
- 1.
Seguendo [25], sembrerebbe proprio che i greci sapessero non solo che, ovviamente, la prima manipolazione algebrica considerata è, in generale, scorretta, ma anche che la serie geometrica di ragione \(x<1\) è convergente (e quindi in questo caso particolare la manipolazione è corretta).
- 2.
Si veda l’Osservazione 201.
- 3.
Si noti che se \(\langle a,r\rangle \) è un tale insieme ordinato, allora \(a\neq \emptyset \), perché \(\emptyset \) è un sottoinsieme bene ordinato di \(a\) che deve dunque ammettere un maggiorante in \(a\).
- 4.
Si veda l’Osservazione 201.
- 5.
Ci si può chiedere perché non sia possibile procedere allo stesso modo nel caso in cui sia \(I\) infinito (e la stessa osservazione si può fare nel caso di AS2). Un modo di spiegarlo è osservare che per \(I\) finito (diciamo con \(n\) elementi che identifichiamo con \(1,\ldots ,n\)) la funzione può essere definita esplicitamente dalla relazione funzionale espressa dalla formula \(A(x,y)\) seguente: \((x=1\wedge y=b_{1})\vee \cdots \vee (x=n \wedge y=b_{n})\). Questo non è possibile nel caso infinito, perché non si otterrebbe una formula.
- 6.
- 7.
La verifica che \(\{\{i\}\times a_{i}:i\in I\}\) sia effettivamente un insieme è lasciata al lettore.
- 8.
Il lettore è invitato a verificare che l’argomento si applica anche al caso particolare in cui \(a=\emptyset \).
- 9.
Si osservi che siamo esattamente nella situazione descritta dall’Osservazione 134.
- 10.
Si noti che \(\alpha _{0}\neq \emptyset \): infatti si ha \(\mathit{Im}(F\mid \emptyset )=\mathit{Im}( \emptyset )=\emptyset \subseteq a\), e d’altra parte stiamo supponendo \(a\neq \emptyset \); pertanto vale \(\mathit{Im}(F\mid \emptyset )\subseteq a \wedge \mathit{Im}(F\mid \emptyset )\neq a\) e dunque \(\alpha _{0}\neq \emptyset \).
- 11.
Si noti che \(\emptyset \in c\) perché \(\emptyset \) è un sottoinsieme di \(a\) che ha un maggiorante stretto in \(a\) (qualunque elemento di \(a\) lo sarà, e sappiamo che \(a\neq \emptyset \)).
- 12.
- 13.
Si noti che \(\alpha _{0}\neq \emptyset \) perché \(\mathit{Im}(F\mid \emptyset )=\mathit{Im}(\emptyset )=\emptyset \in c\) (per la Nota 323).
- 14.
Si noti che \(\emptyset \in X\).
- 15.
Si noti che se \(Y=\emptyset \), allora vale \(\bigcup_{y\in Y}y=\emptyset \), e sappiamo che \(\emptyset \in X\) per la Nota 326.
- 16.
Poiché \(x\neq y\), vale \(x\cap y= \emptyset \), e quindi da \(\xi \in x\) segue che \(\xi \notin y\).
- 17.
Questo argomento costituisce anche una dimostrazione diretta del fatto cha dal teorema di Zermelo discende AS3.
- 18.
Un insieme numerabile è un insieme equipotente ad un ordinale \(\alpha \leqslant \omega \), come dalla Definizione 76.
- 19.
Cioè se \(I\) non è numerabile nel senso della Definizione 76 già menzionata.
- 20.
Abbiamo già convenuto di chiamare infinito un tale ordinale, come ricordato nell’Osservazione 208.
- 21.
Visto che \(f(\delta )\in \alpha \) per ipotesi, deve essere \(f(\delta )\leqslant \beta \) e quindi \(\nu \in \beta \).
- 22.
Si noti che, per \(\delta \in \beta \), non può accadere che sia \(f(\delta )=\gamma \), perché \(f(\beta )=\gamma \) e per ipotesi \(f:\alpha \Rightarrow \alpha \) è una funzione iniettiva. I due casi elencati per \(f(\delta )\) esauriscono quindi tutti i casi possibili.
- 23.
Ricordiamo che l’ipotesi della Proposizione 81 è l’esistenza di un isomorfismo tra \(\alpha \) e \(\beta \).
- 24.
Stiamo sfruttando l’Osservazione 209.
- 25.
Si noti che potrebbe essere \(x=y\), nel qual caso avremmo anche \(f=g\).
- 26.
In tal caso, da \(a\sim \alpha \) con \(\alpha \geqslant \omega \), segue anche che \(a\) è Dedekind-infinito, senza bisogna di far ricorso all’assioma di scelta: basta applicare all’insieme \(a\) e ad una qualsiasi corrispondenza biunivoca tra \(a\) e \(\alpha \) la dimostrazione del Punto (ii) del Teorema 39.
- 27.
Stiamo sfruttando l’Osservazione 209.
- 28.
Si noti che, conformemente all’Osservazione 128, se \(a=\emptyset \) deve valere anche \(b=\emptyset \), perché non esiste alcuna funzione di dominio \(b\neq \emptyset \) e codominio \(\emptyset \).
- 29.
Spesso l’insieme \(\{y\in b: f(y)=x\}\) si denota semplicemente \(f^{-1}(x)\), ma vogliamo riservare qui la notazione \(f^{-1}\) alla funzione inversa di \(f\), e nella fattispecie tale funzione in generale non esiste, perché \(f\) non è necessariamente iniettiva.
- 30.
Si osservi che nel caso in cui \(a=\emptyset \), si ha \(b=f=g=\emptyset \).
- 31.
Mentre abbiamo già osservato, nell’introduzione a questo capitolo, che, in generale, l’estensione all’infinito di operazioni lecite al finito non è lecita, come verosimilmente avevano intuito i greci.
- 32.
Qui il termine “paradossale” va inteso nella sua accezione letterale (contro la doxa, contrario all’opinione, sorprendente) e non in quella logica, come già discusso.
Riferimenti bibliografici
Dehornoy, P.: La théorie des ensembles. Introduction à une théorie de l’infini et des grands cardinaux. Calvage et Mounet, Paris (2017)
Jech, T.J.: The Axiom of Choice. North-Holland, Amsterdam (1973)
Krivine, J.L.: Théorie des ensembles. Cassini, Paris (1998)
Leonesi, S., Toffalori, C.: Matematica, miracoli e paradossi. Storie di cardinali da Cantor a Gödel. Mondadori, Milano (2007)
Russo, L.: La rivoluzione dimenticata: il pensiero scientifico greco e la scienza moderna. Saggi Universale Economica Feltrinelli. Feltrinelli, Milano (2001). https://books.google.it/books?id=ddzSELFsHD0C
Zellini, P.: Breve storia dell’infinito, settima edizione. Adelphi, Milano (2006)
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Abrusci, V.M., Tortora de Falco, L. (2018). L’assioma di scelta. In: Logica . UNITEXT(), vol 111. Springer, Milano. https://doi.org/10.1007/978-88-470-3968-1_8
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