Astratto
Gli assiomi della teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo (\(Z\)) e della teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (\(\mathit{ZF}\)), e loro immediate conseguenze.
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Notes
- 1.
Si rammenti la Nota 177.
- 2.
La scelta della parola “universo” non è certamente casuale: poiché la teoria assiomatica degli insiemi ambisce a rappresentare tutti gli oggetti matematici, l’intuizione è che dentro una tale ℒ-struttura sia possibile “fare tutta la matematica”, ovvero che essa sia “un universo” per la matematica.
- 3.
Con le nostre convenzioni, la collezione \(x\in a\) coincide con la collezione \(x\in a\vee x=x\).
- 4.
In senso stretto, non possiamo dire che \(r\) “è” la relazione binaria espressa dalla formula, perché le coppie ordinate in senso intuitivo “corrispondono” ma non “sono” le coppie ordinate nel senso della teoria degli insiemi.
- 5.
Visto che la parola “funzione” non ha per ora alcuna valenza entro la teoria, va qui automaticamente intesa nel suo senso usuale. Dopo aver definito insiemisticamente il termine “funzione” avremo la scelta se farlo seguire o meno dall’aggettivo “intuitivo”, cosa che sarà dirimente per individuarne il significato.
- 6.
Vale per l’espressione “coppia ordinata” quanto scritto nella Nota 198 a proposito della parola “funzione”.
- 7.
Si veda la Nota 198.
- 8.
Si veda la Nota 198.
- 9.
Se tecnicamente l’isolamento, come il rimpiazzamento che verrà introdotto nel seguito, è una restrizione dell’assioma di comprensione, va detto che questi due schemi di assioma sono piuttosto legati ad un altro principio discusso nel Capitolo 4: ciascuna parte di un insieme è un insieme.
- 10.
Anche in questo caso, e come già specificato nel Paragrafo 5.1, una volta che avremo definito l’operazione di intersezione tra insiemi, dovremo parlare, nel caso specifico, di “intersezione in senso intuitivo” di una collezione ed un insieme.
- 11.
Si veda l’Osservazione 120.
- 12.
Nel caso del prodotto cartesiano, usiamo implicitamente il Paragrafo 5.5.
- 13.
Vista la presenza del simbolo di coppia ordinata, per la precisione stiamo utilizzando una nozione di formula estesa: si veda in merito il Paragrafo 5.5.
- 14.
Useremo, in questa Parte II dell’opera, la notazione \(f:a\Rightarrow b\) per sottolineare la differenza con la nozione intuitiva di funzione da \(a\) in \(b\) usata finora, e cioè \(f:a\to b\).
- 15.
Nel seguito considereremo esclusivamente relazioni funzionali unarie e pertanto scriveremo semplicemente “relazione funzionale”.
- 16.
Naturalmente esistono sempre più formule che esprimono la medesima relazione funzionale, e bisognerebbe dire, più correttamente, che a volte non faremo esplicitamente riferimento ad alcuna di queste formule.
- 17.
Si dice anche che la formula \(\exists yA(x,y)\) (risp. \(\exists yA(y,x)\)) esprime la proprietà “\(x\) è nel dominio (risp. nell’immagine) della relazione funzionale espressa da \(A\)”.
- 18.
Si tratta, come scritto nella Definizione 49, di una funzione di dominio \(I\) la cui immagine è contenuta in un opportuno insieme \(b\). La notazione \(( a_{i} ) _{i\in I}\) vuole evocare la possibilità di pensare ad una funzione come ad una “successione” di coppie ordinate, il cui primo elemento varia nel dominio della funzione. Quando sapremo rappresentare gli interi all’interno della teoria, potremo prendere come \(I\) l’insieme corrispondente ad ℕ e come immagine un sottoinsieme dell’insieme corrispondente ad ℝ; una funzione di dominio \(I\) corrisponderà allora esattamente ad una successione numerica nel senso usuale, cioè ad una funzione (in senso intuitivo) da ℕ in ℝ.
- 19.
Si noti che vale in \(\mathcal{U}\) la formula: \(\forall x(x\in \bigcup_{i\in I}a_{i}\leftrightarrow \exists i(i\in I\wedge x\in a_{i}))\).
- 20.
Per \(I=\emptyset \), si noti che \(\bigcap_{i\in I}a_{i}\) non è un insieme, poiché sarebbe “la collezione di tutti gli insiemi”.
- 21.
Quest’ultima uguaglianza equivale ad affermare che l’insieme vuoto è l’unica funzione di dominio l’insieme vuoto e codominio l’insieme vuoto, conformemente all’Osservazione 128.
- 22.
Si noti che questo termine ha solo un senso intuitivo: non sappiamo ancora cosa sia un insieme finito per la teoria degli insiemi.
- 23.
Vale la stessa osservazione che nel caso del termine finito.
- 24.
- 25.
Non a caso nella dimostrazione della Proposizione 54 non abbiamo usato l’assioma della coppia.
- 26.
Per fissare le idee, supponiamo ad esempio che, nella formula atomica \(B\), occorra \(\bigcup z\). Allora si introduce una nuova variabile \(x\), e \(B\) diventa \(\exists x(\textrm{Def}_{\bigcup }(z,x)\wedge B')\), dove \(B'\) è ottenuta sostituendo ogni occorrenza di \(\bigcup z\) con \(x\). In tal modo si possono eliminare tutte le occorrenze di ⋃, e sostituire \(B\) con una formula di \(\mathcal{L}_{\mathit{est}}\backslash \{\emptyset , \bigcup \}\), equivalente a \(B\) sotto gli assiomi di \(Z_{\mathit{fin}}\cup \{(\mathit{Intro} _{\emptyset }),(\mathit{Intro}_{\bigcup }),(\mathit{Intro}_{\mathcal{P}}),(\mathit{Intro}_{\{ \cdot ,\cdot \}})\}\).
Riferimenti bibliografici
Dehornoy, P.: La théorie des ensembles. Introduction à une théorie de l’infini et des grands cardinaux. Calvage et Mounet, Paris (2017)
Krivine, J.L.: Théorie des ensembles. Cassini, Paris (1998)
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Abrusci, V.M., Tortora de Falco, L. (2018). La teoria assiomatica di Zermelo (\(Z\)) e quella di Zermelo-Fraenkel (\(\mathit{ZF}\)). In: Logica . UNITEXT(), vol 111. Springer, Milano. https://doi.org/10.1007/978-88-470-3968-1_5
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-88-470-3968-1_5
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Publisher Name: Springer, Milano
Print ISBN: 978-88-470-3967-4
Online ISBN: 978-88-470-3968-1
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