Diffusione (Approssimazione di Born)

Sommario

9.1 Potenziale di Yukawa e potenziale coulombiano

Determinare in approssimazione di Born la sezione d’urto differenziale per la diffusione elastica dal potenziale di Yukawa:

$$ V(r) = V_{0} \frac{{e^{ - \alpha r} }}{\alpha r} $$

e il potenziale Coulombiano:

$$ V(r) = \frac{{q_{1} q_{2} }}{r}\;. $$

Soluzione

Applicando la formula A.78 al caso del potenziale di Yukawa otteniamo

$$ \begin{aligned} f_{B} (q) & = - \frac{{2\mu V_{0} }}{{\hbar^{2} q}}{\mkern 1mu} \int_{0}^{\infty } d r{\mkern 1mu} \sin (qr){\mkern 1mu} \frac{{e^{ - \alpha r} }}{\alpha r}{\mkern 1mu} r = \\ & = - \frac{{2\mu V_{0} }}{{\hbar^{2} q\alpha }}\;\Im \left( {\int_{0}^{\infty } d r{\mkern 1mu} e^{ - \alpha r + \imath qr} } \right) = \\ & = - \frac{{2\mu V_{0} }}{{\hbar^{2} q\alpha }}\;\Im \left( {\frac{1}{\alpha - \imath q}} \right) = \\ & = - \frac{{2\mu V_{0} }}{{\hbar^{2} \alpha }}{\mkern 1mu} \frac{1}{{\alpha^{2} + q^{2} }}. \\ \end{aligned} $$

La sezione d’urto è quindi

$$ \frac{{d\sigma_{B} }}{d\varOmega } = \left( {\frac{{2\mu V_{0} }}{{\hbar^{2} \alpha }}} \right)^{2} {\mkern 1mu} \left( {\frac{1}{{\alpha^{2} + 4k^{2} \sin^{2} \frac{\theta }{2}}}} \right)^{2} $$

dove θ è l’angolo tra la direzione d’incidenza e la direzione di diffusione Possiamo ottenere i risultati per il potenziale Coulombiano dalle formule precedenti mediante il limite

$$ \alpha \to 0\qquad \qquad V_{0} \to 0\qquad \qquad \frac{{V_{0} }}{\alpha } \to q_{1} q_{2} . $$

Il risultato è

$$ \frac{{d\sigma_{B} }}{d\varOmega } = \frac{{q_{1}^{2} q_{2}^{2} }}{{16E^{2} \sin^{4} \frac{\theta }{2}}} $$

dove $E = \hbar^{2} k^{2} /2\mu$ è l’energia della particella incidente sul centro di forza. Il risultato coincide con quello classico di Rutherford e con il risultato quantistico esatto (notare che la sezione d’urto non dipende da $\hbar$).