Particelle identiche

Sommario

8.1 Due fermioni su un segmento

Due particelle non identiche entrambe di spin $\frac{1}{2}$ e massa m sono costrette a muoversi su un segmento di lunghezza L interagendo tramite un potenziale

$$ V = k {\mathbf{S}}_{1} \cdot{\mathbf{S}}_{2} . $$

Determinare gli autovalori e le autofunzioni dell’Hamiltoniano.

Cosa succederebbe se le particelle fossero identiche?

Soluzione

Poiché il potenziale dipende solo dagli stati di spin e si tratta di particelle non identiche, cerchiamo autofunzioni fattorizzate nella forma

$$ \varPsi (1,2) = \psi_{{n_{1} ,n_{2} }} (x_{1} ,x_{2} ){\mkern 1mu} \chi (S_{1} ,S_{2} ){\mkern 1mu} , $$

dove

$$ \psi_{{n_{1} ,n_{2} }} (x_{1} ,x_{2} ) = \psi_{{n_{1} }} (x_{1} ){\mkern 1mu} \psi_{{n_{2} }} (x_{2} ){\mkern 1mu} , $$

$\psi_{n} (x),\text{con}\,n = 1,2, \ldots$, sono le autofunzioni dell’energia per una particella nel pozzo di potenziale e $\chi (\text{S}_{\text{1}} \text{,S}_{\text{2}} )$ rappresenta gli autostati di spin. Il potenziale dipende soltanto dal prodotto scalare tra gli spin che può essere riscritto in termini dello spin totale S:

$$ \text{S}_{1} \cdot \text{S}_{2} = \frac{1}{2}{\mkern 1mu} \left[ {(\text{S}_{1} + \text{S}_{2} )^{2} - S_{1}^{2} - S_{2}^{2} } \right] = \frac{1}{2}{\mkern 1mu} \left[ {S^{2} - \frac{3}{2}{\mkern 1mu} \hbar^{2} } \right]. $$

Quindi la fattorizzazione si ha solo se utilizziamo gli autostati dello spin totale (di S ² e S _z), cioè gli stati di singoletto (S = 0) e di tripletto (S = 1).

In definitiva le autofunzioni comuni all’Hamiltoniano, S ² e S _z sono:

$$ \varPsi_{{n_{1} ,n_{2} ;s,m_{s} }} (x_{1} ,x_{2} ) = \psi_{{n_{1} ,n_{2} }} (x_{1} ,x_{2} ){\mkern 1mu} \chi_{{s,m_{s} }} $$

$$ \begin{aligned} \chi^{0,0} \; & = \frac{1}{\sqrt 2 }{\mkern 1mu} [\chi_{ + } (1){\mkern 1mu} \chi_{ - } (2) - \chi_{ - } (1){\mkern 1mu} \chi_{ + } (2)] \\ \chi^{1, - 1} & = \chi_{ - } (1){\mkern 1mu} \chi_{ - } (2) \\ \chi^{1,0} \; & = \frac{1}{\sqrt 2 }{\mkern 1mu} [\chi_{ + } (1){\mkern 1mu} \chi_{ - } (2) + \chi_{ - } (1){\mkern 1mu} \chi_{ + } (2)] \\ \chi^{1, + 1} & = \chi_{ + } (1){\mkern 1mu} \chi_{ + } (2) \\ \end{aligned} $$

e corrispondono agli autovalori dell’energia

$$ E_{n,s} = \frac{{\pi^{2} \hbar^{2} }}{{2mL^{2} }}{\mkern 1mu} n^{2} + k\left[ {s(s + 1) - \frac{3}{4}} \right]\hbar^{2} \;,\;\;{\text{con}}\;n^{2} = n_{1}^{2} + n_{2}^{2} {\text{ e }}n_{1} ,n_{2} = 1,2, \ldots $$

La degenerazione è il prodotto di 2s+1 per la degenerazione che interviene se esiste piú di una coppia (n ₁,n ₂) che porta allo stesso valore di n.

Nel caso di particelle identiche, gli autovalori non cambiano, ma la loro degenerazione si riduce. Occorre, infatti, costruire le combinazioni simmetriche e antisimmetriche delle autofunzioni relative alle coordinate spaziali (gli autostati dello spin hanno già proprietà di simmetria) e imporre l’antisimmetria delle autofunzioni complessive.

Se S = 0, la parte spaziale deve essere simmetrica e, in corrispondenza degli autovalori $E_{n,0} = \frac{{\pi^{2} \hbar^{2} }}{{2mL^{2} }}{\mkern 1mu} n^{2} - \frac{3}{4}{\mkern 1mu} k\hbar^{2}$, si ha:

$$ \varPsi_{{n_{1} ,n_{2} ;0,0}} (x_{1} ,x_{2} ) = \frac{1}{\sqrt 2 }{\mkern 1mu} [\psi_{{n_{1} }} (x_{1} ){\mkern 1mu} \psi_{{n_{2} }} (x_{2} ) + \psi_{{n_{2} }} (x_{1} ){\mkern 1mu} \psi_{{n_{1} }} (x_{2} )]{\mkern 1mu} \chi^{0,0} {\text{ se }}\;\;n_{1} \ne n_{2} $$

e

$$ \varPsi_{{n_{1} ,n_{2} ;0,0}} (x_{1} ,x_{2} ) = \psi_{{n_{1} }} (x_{1} ){\mkern 1mu} \psi_{{n_{2} }} (x_{2} ){\mkern 1mu} \chi^{0,0} \;\;{\text{ se }}\;\;n_{1} = n_{2} {\mkern 1mu} . $$

Gli stati relativi a S = 1 corrispondono agli autovalori $E_{n,1} = \frac{{\pi^{2} \hbar^{2} }}{{2mL^{2} }}{\mkern 1mu} n^{2} + \frac{5}{4}{\mkern 1mu} k\hbar^{2}$ hanno parte spaziale antisimmetrica. Per questo deve essere $n_{1} \ne n_{2}$ e le autofunzioni sono

$$ \varPsi_{{n_{1} ,n_{2} ;1,m_{s} }} (x_{1} ,x_{2} ) = \frac{1}{\sqrt 2 }{\mkern 1mu} [\psi_{{n_{1} }} (x_{1} ){\mkern 1mu} \psi_{{n_{2} }} (x_{2} ) - \psi_{{n_{2} }} (x_{1} ){\mkern 1mu} \psi_{{n_{1} }} (x_{2} )]{\mkern 1mu} \chi^{{1,m_{s} }} {\mkern 1mu} . $$

con $m_{s} = 0, \pm 1.$