Teoria Perturbativa dipendente dal tempo

Sommario

7.1 Oscillatore armonico: perturbazione istantanea

Due particelle di massa m si muovono lungo l’asse x interagendo mediante una forza elastica di costante k.

Supponendo che, mentre esse si trovano nello stato fondamentale di energia E ₀ , la costante k si dimezzi improvvisamente, qual è la probabilità che una misura dell’energia dia come risultato l’energia dello stato fondamentale?

Soluzione

Dette x ₁ e x ₂ le coordinate delle due particelle, introduciamo la coordinata del centro di massa e quella relativa.

$$ X = \frac{{x_{1} + x_{2} }}{2}\;\;\;\;x = x_{1} - x_{2} $$

e la massa totale M e la massa ridotta μ

$$ M = 2m\;\;\;\;\mu = \frac{m}{2}\;. $$

Ponendo

$$ \varPsi (X,x) = \varPhi (X)\psi (x), $$

l’equazione di Schrödinger

$$ \left[ { - \frac{{\hbar^{2} }}{2m}\frac{{\partial^{2} }}{{\partial x_{1}^{2} }} - \frac{{\hbar^{2} }}{2m}\frac{{\partial^{2} }}{{\partial x_{2}^{2} }} + V(x_{1} - x_{2} ) - W} \right]\varPsi (x_{1} ,x_{2} ) = 0 $$

si separa nelle due equazioni

$$ \left[ { - \frac{{\hbar^{2} }}{2M}\frac{{d^{2} }}{{dX^{2} }} - E_{CM} } \right]\varPhi (X) = 0\qquad \left[ { - \frac{{\hbar^{2} }}{2\mu }\frac{{d^{2} }}{{dx^{2} }} + V(x) - E} \right]\psi (x) = 0 $$

(7.1)

con la condizione

$$ W = E_{CM} + E{\mkern 1mu} . $$

Il centro di massa si muove di moto libero, mentre la massa ridotta descrive un oscillatore armonico. Ai fini del problema interessa solo il moto della coordinata relativa

Inizialmente il sistema è descritto dalla funzione d’onda (A.16)

$$ \psi_{0} (x) = \left( {\frac{\alpha }{\sqrt \pi }} \right)^{{\frac{1}{2}}} e^{{ - \frac{1}{2}\alpha^{2} x^{2} }} \;\;\;{\text{dove}}\;\;\;\alpha = \sqrt {\frac{m\omega }{\hbar }} = \sqrt[4]{{\frac{mk}{{\hbar^{2} }}}}\;. $$

Si vuole sapere la probabilità che, dopo il dimezzamento della costante elastica, l’oscillatore sia nello stato fondamentale del nuovo sistema, cioè nella stato descritto da:

$$ \psi_{0}^{'} \left( x \right) = \left( {\frac{{\alpha^{'} }}{\sqrt \pi }} \right)^{{\frac{1}{2}}} e^{{ - \frac{1}{2}\alpha^{{'\text{2}}} x^{2} }} \,\,\,\,\text{dove}\,\,\,\alpha^{'} = \sqrt {\frac{{m\omega^{'} }}{\hbar }} = \sqrt[4]{{\frac{{mk^{'} }}{{\hbar^{2} }} = \frac{a}{{\sqrt[4]{2}}}.}} $$

Si tratta di una perturbazione istantanea, nella quale lo stato della particella non cambia, mentre cambia il suo Hamiltoniano. Pertanto tale probabilità è data dal modulo quadro di

$$ \begin{aligned} \langle \psi_{0} \left| \psi \right._{0}^{'} & {\kern 1pt} = {\kern 1pt} \int_{ - \infty }^{ + \infty } {dx} \sqrt {\frac{{aa^{'} }}{\pi }e^{{ - \frac{1}{2}\left( {a^{2} + a^{''2} } \right)x^{2} }} } \\ & {\kern 1pt} = {\kern 1pt} \sqrt {\frac{{\alpha \alpha^{'} }}{\pi }} \sqrt {\frac{2\pi }{{\alpha^{2} + \alpha^{'2} }}} = \sqrt {\frac{{2\alpha \alpha^{'} }}{{\alpha^{2} + \alpha^{{'\text{2}}} }},} \\ \end{aligned} $$

dove si è usata l’espressione A.1 per l’integrale gaussiano riportata in Appendice. Quindi la probabilità richiesta è data da:

$$ P_{0} = \frac{{2\alpha \alpha^{'} }}{{\alpha^{2} + \alpha^{{'\text{2}}} }} = \frac{2\sqrt 2 }{{\sqrt[4]{2}\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}} = 2^{{\frac{5}{4}}} \left( {\sqrt {2 - 1} } \right) = 0.9852. $$