I quantificatori “esiste” e “per ogni”

Riassunto

Le nozioni fondamentali di numero naturale, zero, successore sono abbastanza chiare a tutti noi. Le operazioni di somma e prodotto vengono poi definite induttivamente usando lo zero, il successore e il predicato di eguaglianza =. Nozioni aritmetiche più complicate come x ≤ y, “x divide y”, “x è il minimo tra y e z”, “x è un numero primo”, sono definibili servendosi delle nozioni fondamentali. Così per esempio x ≤ y vuol dire che esiste z tale che x+z = y, in simboli, ∃z x + z = y. Analogamente “x è primo” vuol dire che 2 ≤ x e per ogni y ≤ z tali che y · z = x segue che y = 1 e z = x, in simboli,

$$ s\left( {s\left( 0 \right)} \right) \leqslant x \wedge \forall y\forall z\left[ {\left( {y \leqslant z \wedge y \cdot z = x} \right) \to \left( {y = s\left( 0 \right) \wedge z = x} \right)} \right] $$

ove s designa la funzione successore. In tutte queste espressioni le variabili riacquistano il loro uso familiare, come nei sistemi di equazioni; ma ora sulle variabili agiscono i quantificatori ∃ e ∀, ben di più che nelle equazioni.