Abstract
Among the many aspects of the logical and foundationalistic work of Peano, there is one which, though not ignored, seems not yet to have attracted all the attention it deserves: that which deals with metalogic. Yet the relationship between Peano and this basic theme is decisive both for full appreciation of his work, and for a genuine understanding of its destiny. While he was, indeed, — as we will try to show — one of the genuine founders also of this logical discipline, it was precisely its development that played a decisive role in the decline and even the disappearance from the international scene of his logical tradition.
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References
I. Grattan-Guinness (2000), 228.
G. Peano (1898e), 85: “La composizione del mio lavoro a. 1889 fu ancora indipendente dallo scritto menzionato del Dedekind; prima della stampa, ebbi la prova morale dell’indipendenza delle proposizioni primitive da cui io partivo, nella loro coincidenza sostanziale colle definizioni del Dedekind. In seguito riuscii a dimostrarne l’indipendenza” (The composition of my work in 1889 was still independent of the Dedekind’s mentioned writing; before it was printed, I had the moral proof of the independence of the primitive propositions from which I started, in their substantially coinciding with Dedekind’s definitions. I was subsequently able to prove this independence).
G. Peano (1895l), 122–128; Peano (1913i), 47–53, 75–81.
Peano’s lack of interest in the attempts at a logical foundation for the concept of natural number was not perhaps so much the fruit of a certain philosophical insensitivity on his part, sometimes to the point of almost boasting with a touch of coquettishness, as of the idea that such a purpose could not be achieved. In fact he wrote in Peano (1891o), 256: “Per mio conto […] il numero (intero positivo) non si può definire (poiché le idee di ordine, successione, aggregato, ecc., sono altrettanto complesse come quella di numero).” (In my opinion [… ] the (positive integer) number cannot be defined (since the ideas of order, succession, aggregate, etc., are just as complex as that of number)).
G. Peano (1891i), 94: “Fra quanto precede, e quanto dice il Dedekind, vi ha una contraddizione apparente, che conviene subito rilevare. Qui non si definisce il numero, ma se ne enunciano le proprietà fondamentali. Invece il Dedekind definisce il numero, e precisamente chiama numero ciò che soddisfa alle condizioni predette.”
G. Peano (1891i), 94: “Evidentemente le due cose coincidono.”
G. Loria (1889), 154–156*: “Egli non si occupa, come fece Dedekind, di pervenire alla nozione di numero col puro ragionamento; ma ammette l’esistenza di enti, che chiama numeri, definiti da certe proprietà caratteristiche, le quali bastano e per generare tutto il gruppo partendo da un suo elemento (l’unità) e per stabilire tutte le proprietà del gruppo stesso.”
A. Church (1956), n. 539.
E. Beltrami (1868), 284–312.
F. Klein (1871), 419–433.
F. Klein (1871), 424: “Beltrami, dem man die betreffende Versinnlichung der hyperbolischen Geometrie verdankt.”
F. Klein (1871), 425: “Diese letztere Interpretation bringt leider, wie es scheint, nie das gesammte Gebiet der Ebene zur Anschauung.”
F. Klein (1871), 424: “Das Bedürfniss, die sehr abstracten Speculationen, welche zur Aufstellung der dreierlei Geometrieen geführt haben, zu versinnlichen, hat dahingeführt, Massbestimmungen aufzusuchen, die als Bilder der gennanten Geometrien aufgefasst werden könnten.”
E. Beltrami (1868), 286: “effettivamente introdotte quelle determinazioni che individuano la categoria stessa in confronto di una categoria più estesa.”
G. Peano (1904b), 96: “On prouve l’irreductibilité, ou indépendance d’une proposition, postulat provisoire, en donnant l’exemple d’une interprétation des symboles géométriques, de façon que tous les postulats précédents soient vérifiés, à l’exception de celui qu’on considère. Cette méthode a reçu une application classique en Pangéometrie. Pour prouver que le postulat des parallèles était irréductible, on a donné l’exemple des surfaces pseudosphériques, qui verifient tous les postulats de la Géométrie, à l’exeption de celui des parallèles.”
A. Padoa (1901b), (1900). There is an English [Van Heijenoort 1967, 118–123] and an Italian [Mugnai 1982, 382–394] translation of the Introduction.
A. Padoa (1901b), 318: “nous pouvons imaginer que les symboles non-definis soient complètement dépourvus de signification et que les P non-démontrées (au lieu d’énoncer des faits, c’est-à-dire des relations entre les idées représentées par les symboles non-définis) ne soient que des conditions auxquelles les symboles non-définis sont assujettis.”
A. Padoa (1901b), 318–319: “Alors, le système des idées que nous avons choisi d’abord n’est qu’une interprétation du système des symboles non-définis; mais au point de vue déductif, cette interprétation peut être ignorée par le lecteur, qui peut librément la remplacer, dans sa pensée, par une autre interprétation qui vérifie les conditions énoncées par les P non-démontrées. Et, comme celles-ci, au point de vue déductif, n’énoncent pas des faits, mais des conditions, on ne peut les considérer comme de vrais postulats. Ainsi les questions logiques acquièrent une complète indépendance à l’égard des questions empiriques ou psychologiques (et, en particulier, du problème de la connaissance): et toute question relative à la simplicité des idées et à l’évidence des faits disparait.”
A. Padoa (1901b), 319–320: “Il peut se faire qu’il y ait plusieurs (et même un nombre infini d’) interprétations du système des symboles non-définis, qui vérifient le système des P non-démontrées et, par consequent, toutes les P d’une théorie. Alors le système des symboles non-definis peut être considerée comme l’abstraction de toutes ces interprétations, et la théorie générique peut être considérée comme l’abstraction des théories specialisées qu’on obtient en y remplaçant séparément le système des symboles non-définis par chacune de ses interprétations.”
A. Padoa (1901b), 320: “Par un seul raisonnement, qui démontre une P de la théorie générique, on démontre alors implicitement une P dans chacune de ses théories spécialisées.”
A. Tarski, Some Investigations on the Definability of Concepts, in A. Tarski 1956, 296–319.
A. Padoa (1902a), 249–256.
A. Padoa (1902a), *: “Pour démontrer [… ] il faut trouver [… ] une interprétation [… ].”
A. Padoa (1902a), 21.
A. Padoa (1903), 85–91.
D. Hilbert (1900a), 180: “Ich bin nun überzeugt, dass es gelingen muss, einen direkten Beweis für die Wiederspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome zu finden, wenn man die bekannten Schlussmethoden in der Theorie der Irrationalzahlen im Hinblick auf das bezeichnete Ziel genau durcharbeitet und in geeigneter Weise modifiziert.”
A. Padoa (1903), 88: “«Quant à la démonstration de la non-contradiction des axiomes de l’Arithmétique, elle demande à être effectuée par voie directe» nous prouve que M. Hilbert n’a pas compris que, pour démontrer l’indépendance ou la non-contradiction d’un système de propositions, l’on peut choisir les interprétations des symboles non définis dans un domaine convenable quelconque, pourvu seulement que la connaissance de ce domaine soit préalablement admise.”
Cf., for example, H. Freudenthal (1962), 613–621.
G. Peano (1889d), 28–29: “ridotte [… ] le proposizioni in formule analoghe alle equazioni algebriche, allora, esaminando le comuni dimostrazioni, si scorge che esse consistono in trasformazioni di proposizioni e gruppi di proposizioni, aventi massima analogia colle trasformazioni delle equazioni algebriche simultanee. Queste trasformazioni, o identità logiche, di cui facciamo continuamente uso nei nostri ragionamenti, si possono enunciare e studiare.”
G. Peano (1889d), 29: “sarebbe uno studio interessante, e che finora manca, il distinguere le fondamentali [scl. identità logiche], che si devono ammettere senz’altro, dalle rimanenti, contenute nelle fondamentali. Questa ricerca porterebbe ad uno studio, sulla Logica, analogo a quello qui fatto per la Geometria, e nel precedente opuscolo per l’Aritmetica.”
L. Geymonat, Prefazione to G. Frege (1948), 12–13: “non si poteva mettere in valore l’opera di uno straniero sui fondamenti dell’aritmetica, senza contemporaneamente lumeggiare quella definitiva di Giuseppe Peano.”
Quoted in L. Geymonat (1959), 109–118*: “si trincerano dietro un linguaggio simbolico prolisso, impreciso e incompleto, che colle debite proporzioni sta a quello di Peano come un quadro cubista o surrealista di Picasso [… ] sta alla donna sdraiata di Tiziano [… ] od alla Danae del Correggio!”
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Casari, E. (2011). At the Origins of Metalogic. In: Skof, F. (eds) Giuseppe Peano between Mathematics and Logic. Springer, Milano. https://doi.org/10.1007/978-88-470-1836-5_8
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Publisher Name: Springer, Milano
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