Equazioni differenziali ordinarie

Riassunto

L’oggetto di questo capitolo è lo studio delle soluzioni di un sistema differenziale del primo ordine del tipo

$$ \frac{{dx}} {{dt}} = :\dot x = f(t,x), $$

((5.1))

dove supporremo sempre che f sia una mappa

$$ f:I \times \Omega \ni (t,x) \mapsto f(t,x) = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {f_1 (t,x)} \\ \vdots \\ {f_n (t,x)} \\ \end{array} } \right] \in \mathbb{R}^n , $$

((5.2))

con I intervallo aperto di ℝ e Ω aperto di ℝⁿ, soddisfacente d’ora innanzi almeno le seguenti condizioni di regolarità:

• continuità: f <∈ C⁰(I × Ω;ℝⁿ);

• locale lipschitzianità (in x): per ogni $(\bar t,\bar t) \in I \times \Omega$ esistono una scatola

  $$ B_{h,r} (\bar t,\bar x): = \{ (t,x);|t - \bar t| \leqslant h,||x - \bar x\parallel \leqslant r\} $$

  contenuta in I x Ω (h,r > 0) ed una costante L > 0 tali che

  $$ \parallel f(t,x') - f(t,x'')\parallel \leqslant L\parallel x' - x''\parallel ,\forall (t,x'),(t,x'') \in B_{h,r} (\bar t,\bar t). $$

  ((25/))