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Sistemi lineari

  • Carlo D’Angelo
  • Alfio Quarteroni
Part of the UNITEXT book series (UNITEXT)

Riassunto

Un sistema lineare è un insieme di m equazioni algebriche lineari in n incognite x j , ovvero
$$ \sum\limits_{j = 1}^n {a_{ij} x_j = b_i , i = 1, \ldots ,m,} $$
ove a ij e b i sono coefficienti dati. In forma compatta, si scrive
$$ Ax = b, $$
(3.1)
ove A ∈ ℝ m×n è la matrice dei coefficienti a ij , b ∈ ℝ m il vettore dei coefficienti b i , e x ∈ ℝ n il vettore delle incognite x j . In generale, (3.1) ammette un’unica soluzione se e solo se m=n (sistemi quadrati) ed inoltre la matrice A è non singolare (o equivalentemente a rango massimo rank(A)=n, o con nucleo banale ker(A)={0}, si vedano i richiami di algebra lineare del Capitolo 2). Sistemi sovradeterminati (m>n) non ammettono in generale soluzione, se non nel senso generalizzato dei minimi quadrati: in tal caso, si cerca x ∈ ℝ n tale che
$$ \left\| {Ax - b} \right\|_2^2 = \mathop {\min }\limits_{y \in \mathbb{R}^n } \left\| {Ay - b} \right\|_2^2 . $$
(3.2)
.

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Copyright information

© Springer-Verlag Italia, Milano 2010

Authors and Affiliations

  • Carlo D’Angelo
    • 1
  • Alfio Quarteroni
    • 1
    • 2
  1. 1.MOXPolitecnico di MilanoItalia
  2. 2.EPFLLausanne

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