Funzioni di variabili casuali e modelli statistici

Riassunto

Qualsiasi variabile Y, definita come funzione di una variabile casuale X, sarà anch’essa una variabile casuale. Supponiamo di conoscere, per la variabile X, la funzione densità di probabilità f _X (x) e la funzione di probabilità cumulata F _X (x). Siamo in grado di calcolare le stesse funzioni per la variabile Y, a partire da f _X e F _X ? Supponiamo che Y sia espressa come:

$$ Y = g(X) $$

((4.1))

dove g è una funzione da χ, il campo di esistenza di X a y, il campo di Y. Per definizione la probabilità cumulata di Y è la probabilità che si abbia Y≤y:

$$ F_Y (y) = Prob \{ Y \leqslant y\} = Prob \{ g(X)\} \leqslant y $$

((4.2))

$$ = \int_{g(x) \leqslant y} {f_{X(x)dx} } $$

((4.3))

dove l’integrazione va eseguita su tutti i valori di x per i quali g(x) ≤ y (Fig. 4.1).