Equazioni paraboliche

Riassunto

In questo capitolo consideriamo equazioni della forma

$$ \frac{{\partial u}} {{\partial t}} + Lu = f, x \in \Omega , t > 0, $$

(6.1)

dove Ω è un dominio di ℝ^d, d = 1, 2, 3, f = f(x, t) è una funzione assegnata, L = L(x) è un generico operatore ellittico agente sull’incognita u = u(x, t); sotto queste ipotesi la (6.1) è un’equazione parabolica. In molti casi si è interessati a risolverla solo per un intervallo temporale finito, diciamo per 0 < t < T. In tal caso la regione Q _t = Ω x (0, T) è detta cilindro nello spazio ℝ^d x ℝ+ (si veda la Fig. 6.1). Nel caso in cui T = +∞, Q = {(x,t):x ∈ Ω,t > 0} sarà un cilindro infinito. L’equazione (6.1) va completata assegnando una condizione iniziale

$$ u(x,0) = u_0 (x), x \in \Omega , $$

(6.2)