Spazi di Banach

Riassunto

Nel capitolo precedente abbiamo visto come sia possibile associare una norma ‖ · ‖ a un prodotto scalare 〈·,·〉 su uno spazio pre-hilbertiano H. Vogliamo studiare adesso le proprietà di uno spazio vettoriale dotato di una norma ‖ · ‖, e quindi della metrica da essa indotta, senza supporre che tale norma derivi da un prodotto scalare. Questa generalizzazione è assai importante perché ci permetterà di applicare la teoria a numerosissimi esempi di grande rilevanza, come gli spazi L ^P(X, μ) con p ≠ 2 o gli spazi di funzioni continue, i quali non rientrano nella famiglia degli spazi di Hilbert semplicemente perché la loro norma non è indotta da un prodotto scalare.