Codici convoluzionali

Riassunto

Nel capitolo 15, si è investigato il comportamento dei codici lineari al crescere della dei blocchi. Nel paragrafo 15.3, in particolare, si è visto che “quasi tutti” i codici lineari, purché sufficientemente lunghi, abbiano, a livello teorico, una capacità correttiva non inferiore a quella descritta nella limitazione di Gilbert-Varshamov. D’altro canto, un codice di lunghezza molto grande presenta due grosse controindicazioni:

• 1. complessità di codifica/decodifica;

• 2. latenza della comunicazione.

Per quanto concerne il primo punto, notiamo che la codifica di una parola mediante un codice lineare generico c é equivalente ad una operazione di prodotto fra una matrice n x k e un vettore di lunghezza k; pertanto, sono richieste O(nk) ≃ O(n²) moltiplicazioni. Per la decodifica il problema é ancora piú serio; in effetti, I’algoritmo di decodifica che restituisce la parola di codice piú vicina a quella ricevuta (come introdotto a pagiba 12) é esponenziale nella ridondanza di C: richiede infatti, nel caso binario, ben O(2^n-k) operazioni. In assenza di strutture aggiuntive (quali la ciclicitá o la sparsitá della matrice di controllo di paritá utilizzata) é difficile fare di meglio. Un importante risultato generale di Berlekamp, McEliece e van Tilborg [14] mostra come anche il problema della decodifica a sindrome per generici codici lineari sia NP-completo. Chiarmente, questo teorema non esclude la possibilitá che, per alcune classi particolari di codici, sia possibile avere prestazioni migliori.