Teoria globale delle curve piane

Riassunto

Nel capitolo precedente ci siamo concentrati su proprietà locali delle curve, cio`e su proprietà che possono essere studiate esaminando il comportamento della curva nell’intorno di un punto. In questo capitolo invece vogliamo presentare alcuni risultati di teoria globale delle curve piane, cioè risultati che coinvolgono proprietà (topologiche o d’altro genere) del sostegno della curva considerato nel suo insieme.

La prima sezione del capitolo contiene una breve introduzione alla teoria del grado per applicazioni a valori nella circonferenza S1. Come vedrai, è possibile associare a ogni curva chiusa con sostegno contenuto in una circonferenza un numero intero, il suo grado, che misura il numero di giri fatti dalla curva. Usando il grado ci sarà possibile associare a qualsiasi curva piana chiusa due altri numeri interi: l’indice di avvolgimento, e l’indice di rotazione. L’indice di avvolgimento è uno dei due ingredienti chiave necessari per dimostrare, nella Sezione 2.3, il primo risultato principale di questo capitolo, il teorema della curva di Jordan. L’indice di rotazione è l’ingrediente chiave per la dimostrazione, nella Sezione 2.4, del secondo risultato principale di questo capitolo, il teorema delle tangenti di Hopf. La Sezione 2.2 è invece dedicata alla costruzione dell’intorno tubolare di una curva semplice, il secondo ingrediente chiave per la dimostrazione del teorema della curva di Jordan. Infine, nei Complementi a questo capitolo troverai altri risultati di geometria globale delle curve, quali la caratterizzazione delle curve con curvatura orientata di segno costante, il teorema dei quattro vertici, la disuguaglianza isoperimetrica e il teorema di Schönflies.