Le equazioni di Navier-Stokes

Estratto

Le equazioni di Navier-Stokes per descrivere il moto di un fluido con densità ρ costante in un dominio Ω ⊂ ℝ^d (con d = 2, 3) si scrivono nella seguente forma

$$ \left\{ \begin{gathered} \frac{{\partial u}} {{\partial t}} - div\left[ {\nu \left( {\nabla u + \nabla u^T } \right)} \right] + \left( {u \cdot \nabla } \right)u + \nabla p = f, x \in \Omega ,t > 0, \hfill \\ divu x \in \Omega ,t > 0, \hfill \\ \end{gathered} \right. $$

(10.1)

essendo u la velocità del fluido, p la pressione divisa per la densità (che in questo capitolo chiameremo semplicemente “pressione”, ν = ^ρ _μ la viscosità cinematica, μ la viscositá dinamica e f è un termine forzante per unità di massa che si suppone appartenere a L²(ℝ⁺; [L²(Ω)]^d). La prima equazione del sistema è l’equazione di bilancio della quantità di moto, la seconda è l’equazione di conservazione della massa, detta anche equazione di continuità. Il termine (u·∇)u descrive il processo di trasporto convettivo, mentre −div [ν(∇u + ∇u^T)] descrive il processo di diffusione molecolare. Il sistema (10.1) può essere ottenuto dalle analoghe equazioni per fluidi comprimibili introdotte nel Cap. 9 supponendo ρ costante, utilizzando l’equazione di continuità (che ora è divenuta semplicemente divu = 0) per semplificare i vari termini e quindi dividendo le equazioni per ρ. Si noti come, a differenza del caso comprimibile, non appaia in (10.2) una equazione per l’energia. Infatti, anche se in principio è possibile scrivere una equazione per l’energia anche per i fluidi incomprimibili, essa può essere completamente risolta una volta calcolato il campo di velocità tramite il sistema (10.1).