Schwingungen dreidimensionaler Kontinua

Auszug

Nach den eingehenden Erörterungen der Schwingungen 1- und 2-parametriger Strukturmodelle stehen im vorliegenden Abschnitt in entsprechender Weise 3-dimensionale Kontinua ohne Einschränkungen durch innere Zwangsbedingungen im Mittelpunkt des Interesses. Ausgangspunkt sind die Bewegungsdifferenzialgleichungen (2.75) aus Abschnitt 2.5, die durch geeignete Rand- bzw. Anfangsbedingungen (2.76) bzw. (2.77) zu ergänzen sind. Neben Verschiebungs- und Spannungrandbedingungen sind auch noch allgemeinere gemischte Randbedingungen denkbar. Beschränkt man sich darauf, dass eine Erregung nur in Form von entsprechenden Volumenkräften vorliegt und die Randbedingungen alle homogen sind, dann ist die Formulierung $\begin{array}{l} \frac{E}{{2\left( {1 + v} \right)}}\left[ {\nabla ^2 \overrightarrow u + \frac{1}{{1 - 2v}}\nabla \left( {\nabla \cdot \overrightarrow u } \right)} \right] + \rho _0 \overrightarrow f = \rho _0 \left( {\overrightarrow {u,} _{tt} + d_{\rm{a}} \overrightarrow u ,_t } \right), \\ {\rm{ }}\overrightarrow u = \overrightarrow 0 {\rm{ oder }}\vec \vec \sigma \vec N = \overrightarrow S _{\left( {\overrightarrow N } \right)} {\rm{ auf}} S, \\ {\rm{ }}\overrightarrow u \left( {X_K ,t = 0} \right) = \overrightarrow u _0 \left( {X_K } \right),{\rm{ }}\overrightarrow v \left( {X_K ,t = 0} \right) = \overrightarrow v _0 \left( {X_K } \right) \\ \end{array}$ der geeignete Ausgangspunkt, wenn von möglichen Dämpfungseinflüssen hier allein eine äußere Dämpfung ergänzt wird. Dabei ist an Stelle der in (2.75) bevorzugten Indexschreibweise auf eine symbolische Notation übergegangen worden. Der Laplace-Operator in seiner Anwendung auf den Verschiebungsvektor $\overrightarrow u$ ist über $\nabla ^2 \overrightarrow u = \nabla \left( {\nabla \cdot \overrightarrow u } \right) - \nabla \times \left( {\nabla \times \overrightarrow u } \right)$ erklärt.