Konvergenz von Zahlenfolgen

Auszug

Wir wollen nun das asymptotische Verhalten von unendlichen Zahlenfolgen untersuchen. Wir betrachten nur reellwertige Folgen, d. h. Folgen (a_n) der reellen Zahlen. Eine Folge (a_n) „konvergiert“ gegen eine Zahl a ∈ ℝ, falls ihre Folgenglieder a_n mit wachsendem n immer näher an a herankommen. Der Begriff der Konvergenz ist die Grundlage der Analysis. Seine Bedeutung beruht darauf, dass viele Größen, wie die Euler’sche Zahl e = 2,7182818…, nicht durch einen in endlich vielen Schritten exakt berechenbaren Ausdruck gegeben, sondern nur mit beliebiger Genauigkeit approximiert werden können. So ist zum Beispiel die Zahl e als der „Grenzwert“ der Folge (a_n) mit a_n = (1 + 1/n)ⁿ definiert. Diese Zahl kann man auch als „unendliche Summe“ schreiben

$$ {\text{e = 2 + }}\frac{1} {{2!}} + \frac{1} {{3!}} + ... + \frac{1} {{n!}} + ... $$

und somit mit beliebiger Genauigkeit berechnen. In diesem Kapitel werden wir kennenlernen, wie man erkennt, ob eine Folge konvergiert (Konvergenzkriterien) und wie man gegebenenfalls auch ihren Grenzwert berechnet, was die „unendlichen Summen“ sind und wie man mit ihnen umgehen soll.