Die Vollständigkeit von ℝ, konvergente Folgen

Auszug

Über die reellen Zahlen wurde bisher festgestellt, daß sie einen die natürlichen Zahlen enthaltenden Körper bilden, der nach den Gesetzen (O₁) bis (O₄) geordnet ist. Die entscheidende Eigenschaft, welche ℝ, vollends charakterisiert und vor $\mathbb{Q}$ auszeichnet, ist die Vollständigkeit im Sinne des nachfolgenden Supremumsaxioms, welches die „Lückenlosigkeit“ von ℝ sicherstellt. Am Ende des Paragraphens ordnen wir dieses Axiom einem allgemeineren Vollständigkeitsbegriff unter. Die Vollständigkeit garantiert die Existenz von Grenzwerten und ist daher unerläßliche Voraussetzung für die Aufgabenstellungen der Analysis wie Reihenlehre, Differentialrechnung, Inhaltslehre, Lösbarkeit von Gleichungen.