Berechenbarkeit, oder: Warum gibt es Aufgaben, die ein durch Programme gesteuerter Rechner nie lösen kann?

Auszug

Im dritten Kapitel haben wir entdeckt, dass es unterschiedlich große Unendlichkeiten gibt. Beispielsweise ist die Anzahl der reellen Zahlen größer als die Anzahl der natürlichen Zahlen. Eine unendliche Menge ist genau so groß wie ℕ, wenn man die Elemente dieser Menge als Erstes, als Zweites, als Drittes usw. nummerieren kann. Hier wollen wir zeigen, dass es Probleme (Aufgabenstellungen) gibt, für die kein Algorithmic existiert. Die Grundidee ist sehr einfach. Wir zeigen, dass es mehr Probleme gibt als Programme. Also müssen Probleme existieren, die algorithmisch und somit automatisch mit einem Rechner nicht lösbar sind. Wir werden uns aber nicht damit zufrieden geben, nur zu beweisen, dass es algorithmisch unlösbare Probleme gibt. Man könnte denken, dass alle unlösbaren Probleme so unnatürlich sind, dass ihre Lösungen sowieso niemanden interessieren. Deswegen streben wir an, zu zeigen, dass es auch interessante und praktisch relevante Problemstellungen gibt, die man algorithmisch nicht lösen kann.