Numerische Behandlung von Randwertproblemen partieller Differentialgleichungen

Auszug

Viele physikalische Zustände (stationäre Temperaturverteilungen, elektrostatischer Potentiale u.s.w.) werden durch elliptische Differentialgleichungen mit zusätzlichen Randbedingungen beschrieben. Da die analytischen Lösungsmethoden (vgl. Kapitel 11) oft nicht zum Erfolg führen, ist man auf numerische Lösungsmethoden angewiesen. Genau wie im Falle gewöhnlicher Randwertprobleme (vgl. Kapitel 29) kann man die Diskretisierung entweder durch Differenzenverfahren oder durch Finite Element-Methoden vornehmen. Mit beiden Möglichkeiten wollen wir uns hier beschäftigen. Allerdings wollen wir uns auf die zweidimensionale Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen

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beschränken, wobei G ⊂ ℝ ² ein einfach zusammenhängendes Gebiet mit stückweise glattem Rand ∂ G sei. Der Rand von G darf also endlich viele Ecken besitzen.