Konforme Abbildungen

Auszug

Die Abbildung der z-Ebene in die w-Ebene, die durch eine reguläre Funktion f vermittelt wird, hat zwei wichtige geometrische Eigenschaften: die Winkeltreue und die Maßstabstreue. Sei z ₀ ein Punkt in der Definitionsmenge D(f) der regulären Funktion f mit f(z ₀)≠0. Wir betrachten einen glatten Weg z(t), a ≤ t ≦ - b, durch z ₀, der in D(f) verläuft. Sei etwa z(t₀) = z₀für t₀ ∈ (a, b). Dann schließt die Tangente im Punkt z₀ mit der positiven reellen Achse den Winkel ϕ = arg ż(t₀) ein. Durch f wird dieser Weg auf den Weg f(z(t)), a≤ t≤ b, in der w-Ebene abgebildet. Er führt durch den Bildpunkt w₀ = f(z₀) von z ₀, denn f(z(t ₀))= f(z₀) = w ₀. Die Tangente an die Bildkurve im Punkt w₀ schließt mit der positiven reellen Achse den Winkel ϕ=argż(t₀) ein. Durch die Abbildung f wird also der Weg um den Winkel arg f′(z₀) gedreht. Dies gilt für alle glatten Wege durch z ₀. Sie werden alle um den gleichen Winkel arg f′(z₀) gedreht. Also bleiben die Winkel zwischen den Wegen erhalten. Dies nennt man Winkeltreue der Abbildung f im Punkt z ₀.