Komplexe Funktionen

Auszug

Beispiele:

• (1) Die Punktion f(z) = z + c mit Definitionsmenge D(f) = ℂ bewirkt eine Translation der komplexen Ebene um die komplexe Zahl c.

• (2) Die Funktion f(z) = a, z, z ∈ ℂ lässt sich geometrisch als eine Drehstreckung der komplexen Ebene deuten. Ist nämlich a = re^iϕ, so hat der Bildpunkt von z den Betrag r·¦z¦ (Streckung um den Faktor r) und das Argument arg f(z) = arg z + ϕ (Drehung um den Winkel ϕ).

• (3) Die Funktion f(z) = z ² mit D(f) = ℂ = B(f) bildet die Zahl z = x + iy auf die Zahl w = (x + iy)² = x ² - y ² + i 2xy ab.

• (4) Die Funktion f(z) = ¹ _z mit D(f) = B(f) = ℂ \ 0 bildet die komplexe Zahl z = x + iy auf

  $$ w = \frac{1} {z} = \frac{{\bar z}} {{z\bar z}} = \frac{{x - iy}} {{x^2 + y^2 }} = \frac{x} {{x^2 + y^2 }} + i\left( { - \frac{y} {{x^2 + y^2 }}} \right) $$

  ab. Mit Hilfe von Polarkoordinaten lässt sich diese Abbildung einfacher darstellen: Die Zahl z = reiϕ mit r > 0 wird auf $w = \tfrac{1} {r}e^{ - i\varphi }$ abgebildet. Zahlen im Innern des Einheitskreises (r = ¦z¦ < 1) werden auf Zahlen w außerhalb des Einheitskreises $\left| w \right| = \tfrac{1} {{\left| z \right|}} > 1$ abgebildet und umgekehrt. Zahlen z = e ^iϕ auf dem Einheitskreis gehen in die konjugiert komplexen Zahlen $w = e^{ - i\varphi }$ über.