Normierte Vektorräume und Algebren

Auszug

Auf Vektorräumen über ℝ oder ℂ führen wir einen Längenbegriff ein, eine Norm. Dies führt zum Grenzwertbegriff auf solchen Vektorräumen. Der Normbegriff ist noch sehr allgemein. Neben dem Längenbegriff der euklidischen Geometrie enthält er eine den stochastischen Matrizen angepaßte Norm. Jede Norm auf Vektorräumen induziert eine Norm für lineare Abbildungen und Matrizen. So wird End(V) eine normierte Algebra. Die wichtigsten Ergebnisse im Abschnitt 6.2 sind der Ergodensatz 6.2.8 über Kontraktionen und die Formel 6.2.10 für den Spektralradius. Als Anwendung beweisen wir in 6.3 den Satz von Perron-Frobenius, der Aussagen über den Spektralradius und den zugehörenden Eigenvektoren macht. Ferner studieren wir in 6.4 die Exponentialfunktion von Matrizen und lösen Systeme von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. In 8.5 kommen wir darauf zurück und behandeln, dann ausgerüstet mit der Eigenwerttheorie symmetrischer Matrizen, lineare Schwingungen. Mit Hilfe des Ergodensatzes bringen wir in 6.5 die Theorie der stochastischen Matrizen zu einem Abschluß und behandeln weitere Beispiele (Mischprozesse, Irrfahrten).