Grenzmengen und Attraktoren, strukturelle Stabilität

Zusammenfassung

Die Lösungen von Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten sind explizit beschreibbar. Wir werden darauf aus Platzgründen nur kurz eingehen. Diese Thematik wird in einer Vielzahl von Lehrbüchern ausführlich dargestellt (vgl. [ARN 2001], [AUL 2004], [HAL 1969], [JOR 1999], [WAL 2000],[WIL 1971]). Ein Grundprinzip der Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen ist das Prinzip der Linearisierung, in dem gewisse Eigenschaften auf der Basis zugehöriger linearer Differentialgleichungen betrachtet werden. Interessante Strukturen entstehen aber gerade durch nichtlineare Terme, wie wir bereits in den einführenden Betrachtungen zur Bifurkationstheorie gesehen haben (vgl. Abschnitt 7.4). Nichtlineare Differentialgleichungen können im Gegensatz zu linearen Differentialgleichungssystemen in der Regel nicht explizit gelöst werden. Es kommt also darauf an, qualitative Eigenschaften der Lösungen zu betrachten. Man kann fragen, bei welchen Veränderungen des Systems qualitative Eigenschaften erhalten bleiben, wir werden dabei zum Begriff der strukturellen Stabilität geführt. Für das Verhalten für große Zeiten haben wir bereits Beispiele zur Konvergenz, zu zyklischem Verhalten und zu chaotischen Eigenschaften kennengelernt. Eine allgemeine Beschreibung führt uns zu den Begriffen der Grenzmenge und der Attraktoren.