Überlagerungen von Lie-Gruppen

Zusammenfassung

Was ist eine Überlagerung ? Ein gewisser Grundtyp (sozusagen der Urtyp aller Überlagerungen) ist uns bereits begegnet bei den 1-Parametergruppen als Homomorphismen h : (ℝ, +) → (G, •). Es gibt hier nur zwei Möglichkeiten: entweder ist h als Abbildung injektiv oder periodisch. Im letzteren Fall ist das Bild isomorph zur Gruppe S ¹ = {e^iθ}, und die Abbildung h kann durch Umparametrisierung auf die Form h(t) = e^it gebracht werden. Dies können wir auch als die Quotientenabbildung nat:ℝ → ℝ/(2πℤ) oder auch nat:ℝ → ℝ/ℤ auffassen im Sinne der Kapitel 14 und 15. Allgemeiner haben wir hier den Gruppenhomomorphismus nat: ℝⁿ→ ℝⁿ/(2πℤ) ⁿ≅ (S¹)ⁿbzw. nat: ℝⁿ → ℝ/(ℤ) ⁿ. Dieser hat die Eigenschaft, dass er, eingeschränkt auf eine hinreichend kleine ε-Umgebung eines Punktes, wie ein Homöomorphismus wirkt. Dazu genügt die Bedingung ε < π. Insbesondere gilt das für die Einschränkung nat_|auf U_ε(0). Überdies besteht dann das Urbild des Bildes von U_ε(0) aus Kopien U_x von U = U_ε(0), nämlich je einer für jedes Element von x ε ℤⁿ. Das Urbild ist somit auch homöomorph (als Notation ≅) zum kartesischen Produkt des Bildes mit dem diskreten Raum ℤⁿ.