Quotienten von Lie-Gruppen

Zusammenfassung

Quotienten treten in derMathematik immer im Zusammenhang mit Äquivalenzrelationen auf. Eine Äquivalenzrelation ~ auf einer Menge M liefert eine Einteilung in paarweise disjunkte Äquivalenzklassen. Der Quotient M/~ von M nach dieser Äquivalenzrelation ist dann die Menge aller Äquivalenzklassen mit der natürlichen Abbildung nat, die jedem Element von x ∊ M seine Äquivalenzklasse [x] zuordnet. Bei irgendwelchen algebraischen Strukturen macht dies nur dann Sinn, wenn der Quotient wieder dieselbe algebraische Struktur trägt und wenn die natürliche Abbildung ein Homomorphismus ist, der diese Struktur bewahrt. Wenn es also eine Addition + oder Multiplikation • auf M gibt, dann wird man praktisch gezwungen sein, Äquivalenzklassen repräsentantenweise zu addieren bzw. zu multiplizieren durch [x] + [y] = [x + y] bzw. [x] • [y] = [x • y]. Typische Beispiele sind die Restklassenringe Z _n = Z/~ mit x ~ y ~ x − y ε nZ für eine gewisse natürliche Zahl n. Andere Beispiele sind Quotienten V/U eines Vektorraumes V nach einem Unter-Vektorraum U ⊂ V oder auch der Quotient von GL(n, ℂ) nach der Untergruppe {λE | λ ε \ {0}. Dies habe wir schon in Kapitel 5 betrachtet als projektive Gruppe PGL(n, ℂ). Dabei gilt dann [A] = [B] ⇔ AB ⁻¹ = λE für ein λ ≠ 0. Es macht in diesem Fall keine Schwierigkeiten, eine Multiplikation in der projektiven Gruppe durch [A] •[B] = [AB] zu definieren. Die natürliche Abbildung nat wird so zu einem surjektiven Homomorphismus nat:GL(n, ℂ) → PGL(n, ℂ), und der Kern von nat, also das Urbild des Einselements [E], besteht genau aus allen Matrizen vom Typ λE.