Partielle Differentialgleichungen in der Bildverarbeitung

Zusammenfassung

Die erste partielle Differentialgleichung in diesem Buch tauchte im Anwendungsbeispiel 3.23 bei der Kantenerkennung nach Canny auf: Dort wurden geglättete Versionen eines Bildes durch die Lösung der Wärmeleitungsgleichung erhalten. Diesem lag der Gedanke zugrunde, dass ein Bild Informationen auf verschiedenen Skalen enthält und dass man a priori keine Skala festlegen kann. Die Wahrnehmung eines Bildes hängt maßgeblich von der Auflösung des Bildes ab. Betrachtet man ein Satellitenfoto, so nimmt man vielleicht die Form von Küstenlinien oder Gebirgszügen wahr. Bei einer Luftaufnahme aus einem Flugzeug hingegen treten diese Merkmale in den Hintergrund und die Wahrnehmung konzentriert sich eher auf Strukturen auf kleinerer Skala, wie zum BeispielWaldgebiete, Siedlungen und Straßenzüge.Wir sehen: Eine absolute Skala existiert nicht. Die Skala hängt von der Auflösung und insbesondere auch von den Zielen der Analyse ab. Es stellt sich also die Frage, ob sich diese Skalenvorstellung mathematisch umsetzen lässt. Hier ist es das Ziel, eine skalenunabhängige Darstellung eines Bildes zu finden. Dieses Ziel motivierte den Begriff des Skalenraumes und die Mehrskalenbeschreibung von Bildern [99, 146, 87]. Der Begriff „Skalenraum“ meint keinen Vektorraum oder eine vergleichbare mathematische Struktur, sondern es wird vielmehr gesagt, was eine Skalenraumdarstellung oder Multiskalendarstellung ist: Zu einem gegebenen Bild u₀ : Ω → R wird eine Funktion u : [0,∞[ × Ω → R definiert, wobei der neue Parameter die Skala beschreibt. Die Skalenraumdarstellung soll zum Skalenparameter 0 das Originalbild liefern:

u(0,x) = u0(x).