Mathematische Grundlagen

Zusammenfassung

Die mathematische Bildverarbeitung als Teilgebiet der angewandten Mathematik ist als solche keine abgeschlossene Theorie. Sie baut vielmehr auf einer Vielzahl von verschiedenen Spezialgebieten auf, wie der Fourier-Analysis, den Theorien über partielle Differentialgleichungen oder den Inversen Problemen. Dennoch kommen einige Aspekte, wie zum Beispiel Funktionenräume und funktionalanalytische Aussagen, immer wieder vor. In diesem Kapitel soll es um die Grundlagen gehen, die über die in Anfängervorlesungen üblicherweise vermittelte Analysis und lineare Algebra hinaus gehen. Insbesondere stellen wir einige Begriffe der Funktionalanalysis vor und widmen uns kurz der Maßtheorie, um dann die Klassen der Lebesgue-Räume zu untersuchen. Weiterhin soll eine Einführung in die Theorie der schwachen Ableitungen und der Sobolew-Räume gegeben werden. Die Darstellung im Folgenden soll Referenzcharakter haben, wird sich daher auf die Entwicklung der wichtigsten Begriffe sowie Ergebnisse beschränken und Beweise weitgehend weglassen. Es werden jedoch an geeigneten Stellen Literaturvorschläge zum eingehenden Studium der Materie unterbreitet.