Die Monte-Carlo-Methode

Zusammenfassung

Der Preis einer europ¨aischen (Plain-vanilla) Option kann mit der Black-Scholes-Formel aus Abschnitt 4.2 berechnet werden. Leider existieren zu komplexeren Optionen im allgemeinen keine expliziten Formeln mehr. In diesem Abschnitt stellen wir die Monte-Carlo-Methode zur Integration von stochastischen Differentialgleichungen vor, mit der faire Preise von komplizierten Optionsmodellen numerisch berechnet werden k¨onnen. Zuerst f¨uhren wir in Abschnitt 5.1 in die Thematik ein. Das Monte-Carlo-Verfahren erfordert die Simulation von Realisierungen eines Wiener-Prozesses. Die Simulation wiederum ben¨otigt normalverteilte Zufallszahlen. Die Erzeugung von Zufallszahlen ist Gegenstand von Abschnitt 5.2. In Abschnitt 5.3 erl¨autern wir die numerische L¨osung stochastischer Differentialgleichungen. Die Pr¨azision von Monte-Carlo-Simulationen kann mit Hilfe der Technik der Varianzreduktion, die wir in Abschnitt 5.4 vorstellen, erh¨oht werden. Schließlich wenden wir die vorgestellten Methoden in Abschnitt 5.5 zur Simulation einer asiatischen Call-Option mit stochastischer Volatilit¨at an.