Euklidische Vektorräume und orthogonale Abbildungen

Zusammenfassung

Mit den Hilberträumen von endlicher Dimension über ℝ, den euklidischen Vektorräumen, sind wir bei der klassischen Geometrie angekommen. Hier gibt es neben Längen auch Winkel zwischen Vektoren. Ausführlich behandeln wir die Isometrien euklidischer Vektorräume, die orthogonalen Abbildungen. Am Spezialfall der orthogonalen Gruppen schildern wir die Methode der infinitesimalen Abbildungen, die in der Lieschen Theorie eine zentrale Rolle spielt. Als Nebenprodukt erhalten wir einen natürlichen Zugang zum vektoriellen Produkt im ℝ³. Wir führen den Schiefkörper der Quaternionen ein und untersuchen mit seiner Hilfe die orthogonalen Gruppen in der Dimension drei und vier. Zum Abschluß bestimmen wir alle endlichen Untergruppen der orthogonalen Gruppe in der Dimension drei, wobei sich reizvolle Zusammenhänge mit den platonischen Körpern ergeben.