Distributionen - Theorie und Anwendungen

Um Distributionen und deren Anwendungen gründlich behandeln zu können, sind genauere Kenntnisse über Rechenmethoden in den Räumen L²(R) bzw. L²(R^N) unumgänglich. In Definition 10.35 und dem folgenden Satz 10.22 sind die Lebesgue-Räume für 1 ≤ p ≤ ∞ eingeführt worden. Zur besseren Nutzbarkeit durch den Leser und weil im Rahmen der Theorie der Distributionen und Fourier-Transformationen eine eigenständige (etwas von der in Definition 10.35 abweichenden) Schreibweise in Verwendung ist, werden anschließend – quasi als Beispiel für Definition 10.35 – die L²-Räume explizit dargestellt und wichtige Schlussweisen für Beweise angefügt. Distributionen, Fourier-Transformationen und Faltungen treten z.B. auf (natürlich auch in der Wirtschaftsmathematik und der Mathematischen Ökonomie), wenn (partielle) Differentialgleichungen (auch stochastische) gelöst werden sollen oder (mittels Greenscher Funktionen) Umformungen der Differentialgleichungen vorgenommen werden sollen. Sie treten aber auch in anderen Zusammenhängen auf: Man denke nur an das immer breiteren Raum einnehmende Verarbeiten von Signalen und an die Bildverarbeitung. Wir gehen weiter unten auf das Umwandeln digitaler in analoge Signale ein.