Hahn-Banach-Theorem

Der Satz von Hahn und Banach gehört zu den grundlegenden Sätzen der Funktionalanalysis und ist der Hintergrund für eine Menge wichtiger Resultate. Es gibt diesen Satz in verschiedenen Versionen (algebraische, analytische, geometrische), die oft zueinander äquivalent sind. Im nächsten Abschnitt wird eine (analytische) Version bewiesen und anschließend auf andere Versionen eingegangen. In diesem Abschnitt sollen Anwendungsmöglichkeiten des Satzes betrachtet werden. Geometrische Versionen beinhalten Aussagen über die Trennung zweier konvexer Mengen durch ein lineares (stetiges) Funktionals. Solche Funktionale beschreiben Hyperebenen. In der Optimierungstheorie wird die Optimalität eines Punktes oft dadurch beschrieben, dass zwei konvexe Mengen durch eine Hyperebene getrennt werden. Die Normalenvektoren der Hyperebene korrespondieren zu den Lagrange’schen Multiplikatoren des Optimierungsproblems und haben ökonomische Bedeutung (vgl. Schattenpreise, Abschnitt 5.8).