Ebenen und Flächen im 3D

Auszug

Ebenen im Raum konstruiert man durch Linearkombination zweier Vektoren. Sehr anschaulich ist die Parameter-Darstellung einer solchen Punktmenge. Man wählt einen Stützvektor zwischen Ursprung des Koordinatensystems und der Ebene, sowie zwei Spannvektoren, die nicht parallel oder antiparallel zueinander verlaufen - die also linear unabhängig sind - und addiert beliebige Vielfache des einen zu beliebigen Vielfachen des anderen Vektors. Die so gewonnenen Punkte bilden eine Ebene. Als Beispiel seien der Stützvektor

$$ \overrightarrow {OA} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{array} } \right)$$

und die Spannvektoren gegeben durch

$$ \overrightarrow {AB} $$

und

$$ \overrightarrow {AC} $$

mit B(1∣2∣3) und C(3∣2∣4), somit

$$E_{ABC} :\left( {\begin{array}{*{20}c} {x_1 } \\ {x_2 } \\ {x_3 } \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {2 - r + s} \\ {3 - r - s} \\ {4 - r} \\ \end{array} } \right)$$

(4.1)

mit reellen Parametern r ≠ 0 und s ≠ 0. Die Vektorgleichung 4.1 ist gleichwertig zu demLinearen Gleichungssystem (LGS)

$$ \begin{gathered} x_1 = 2 - r + s \hfill \\ x_2 = 3 - r - s \hfill \\ {\mathbf{ }}x_3 = 4 - r \hfill \\ \end{gathered} $$

das man durch Eliminierung der Parameter zu einer Koordinatengleichung umformen kann:

$$ x_3 = 0.5 \cdot x_1 + 0.5 \cdot x_2 + 1.5$$

(4.2)

Gleichungen 4.1 und 4.2 beschreiben ein - und dieselbe Punktmenge. Für GNUPLOT ist im dreidimensionalen splot die x₃-Komponente gleich z, und wird nicht benannt. Der Befehl zum Zeichnen der Punktmenge x₃=0.5·x₂+1.5· lautet einfach splot 0.5·x+0.5·y+1.5, und wird nach Komma hinter den Befehl zum Zeichnen der drei Punkte geschrieben. splot steht vermutlich für space-plot, also räumliches Zeichnen.