Die Poisson-Verteilung

Auszug

In diesem Kapitel lernen wir mit der Poisson¹-Verteilung ein weiteres wichtiges Verteilungsgesetz der Stochastik kennen. Diese Verteilung entsteht als Approximation der Binomialverteilung Bin(n,p) bei großem n und kleinem p. Genauer gesagt betrachten wir eine Folge von Verteilungen Bin(n,p _n ), n ≥ 1, mit konstantem Erwartungswert

$$ \lambda : = n \cdot p_n ,{\text{ }}0 < \lambda < \infty , $$

(1)

setzen also p _n : = λ/n. Da Bin(n,p _n ) die Verteilung der Trefferanzahl in einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p _n angibt, befinden wir uns in einer Situation, in der eine wachsende Anzahl von Versuchen eine immer kleiner werdende Trefferwahrscheinlichkeit dahingehend kompensiert, dass die erwartete Trefferanzahl konstant bleibt. Wegen

$$ \begin{gathered} \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\ \end{array} } \right) \cdot p_n^k \cdot \left( {1 - p_n } \right)^{n - k} = \frac{{\left( {n \cdot p_n } \right)^k }} {{k!}} \cdot \frac{{n^k }} {{n^k }} \cdot \left( {1 - \frac{{n \cdot p_n }} {n}} \right)^{ - k} \cdot \left( {1 - \frac{{n \cdot p_n }} {n}} \right)^n \hfill \\ {\text{ }} = \frac{{\lambda ^k }} {{k!}} \cdot \frac{{n^k }} {{n^k }} \cdot \left( {1 - \frac{\lambda } {n}} \right)^{ - k} \cdot \left( {1 - \frac{\lambda } {n}} \right)^n \hfill \\ \end{gathered} $$

(2)

für jedes n ≥ k und den Beziehungen

$$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n^{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{k} } }} {{n^k }} = 1,{\text{ }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 - \frac{\lambda } {n}} \right)^{ - k} = 1,{\text{ }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 - \frac{\lambda } {n}} \right)^n = e^{ - \lambda } , $$

(1)

folgt dann

$$ \mathop {\lim }\limits_{n - \infty } \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\ \end{array} } \right) \cdot p_n^k \cdot \left( {1 - p_n } \right)^{n - k} = e^{ - \lambda } \cdot \frac{{\lambda ^k }} {{k!}},{\text{ }}k = 0,1,2,... $$

(1)

Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von k Treffern in obiger Bernoulli-Kette konvergiert also gegen den Ausdruck $e^{ - \lambda } \lambda ^k /k!.{\text{ Wegen }}\sum _{k = 0}^\infty e^{ - \lambda } \cdot \lambda ^k /k! = e^{ - \lambda } \cdot e^{ - \lambda } = 1$ (vgl. (22.11)) bildet die rechte Seite von (24.2) eine W-Verteilung auf IN₀, und wir erhalten die folgende Definition.

Siméon Denis Poisson (1781–1840); studierte Mathematik an der École Polytechnique, wo er 1806 selbst Professor wurde. Poisson leistete wichtige Beiträge insbesondere zur Mathematischen Physik und zur Analysis. 1827 erfolgte seine Ernennung zum Geometer des Längenbureaus an Stelle des verstorbenen P.S. Laplace. Die ungerechtfertigterweise nach Poisson benannte Verteilung war schon de Moivre bekannt.