Modulare Arithmetik

Zusammenfassung

Arithmetik bezeichnet umgangssprachlich das Rechnen mit ganzen Zahlen mit den Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit Rest. Die Addition von beliebig großen ganzen Zahlen ist eine allgemein bekannte arithmetische Funktion. Wir benutzen die Addition aber auch in einem anderem Kontext. Wenn man um 18 Uhr eine 14-stündige Reise beginnt, dann erreicht man das Ziel um 8 Uhr. Das Ergebnis der Addition 18 + 14 ist in diesem Kontext also 8. Auf den ganzen Zahlen gilt für die Addition dagegen 18+14 = 32. Bei Uhrzeiten — wir betrachten hier nur die ganzen Stunden — ist das Ergebnis jedoch immer ein Wert in der Menge {0, 1, 2,..., 23} (0 Uhr und 24 Uhr bedeuten das gleiche). Anstatt über 23 hinauszuzählen, beginnt man also wieder bei 0. Demzufolge sind 32 und 8 gleichbedeutend. Abbildung 13.1 hilft beim Rechnen mit Uhrzeiten. Die Uhrzeiten, die es tatsächlich gibt, sind grau hinterlegt: 0 Uhr bis 23 Uhr. Gerät man beim Rechnen zu einer anderen Uhrzeit, dann geht man in Richtung Mittelpunkt des Kreises (oder vom Mittelpunkt weg), bis man eine grau hinterlegte Uhrzeit erreicht hat. Geht man von 32 in Richtung Mittelpunkt, dann erreicht man so die 8. Die 8 erreicht man auch von 56, 80, 104 usw. Alle Zahlen, von denen man die 8 erreicht, sind bei dieser Art des Rechnens gleichbedeutend mit 8.