Einführung

Auszug

Differentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion mittels ihrer Werte und denen ihrer Ableitungen charakterisieren. Im Falle gewöhnlicher Differentialgleichungen ist dies eine Funktion, die auf den reellen Zahlen ℝ definiert ist, also eine Abbildung von ℝ (oder einer Teilmenge von ℝ) in einen beliebigen Bildraum. In diesem Buch werden wir dieses eindimensionale Argument der Lösungsfunktion stets als Zeit auffassen und mit t ∈ ℝ bezeichnen. Als Bildraum betrachten wir hier ausschließlich den euklidischen Raum ℝ^d. Die in diesem Buch betrachteten gewöhnlichen Differentialgleichungen sind also mathematische Modelle des Verhaltens von zeitlich veränderlichen Systemen. Bezeichnen wir die Ableitung einer Funktion t ↦ x(t) nach der Zeit t mit ẋ, so lässt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung schreiben als

$$ \dot x(t) = f(t,x(t)) f\ddot ur alle t \in \mathbb{R}, $$

(1.1)

für eine Abbildung f: ℝ × ℝ^d → ℝ^d, das sogenannte Vektorfeld. Die Funktion f ist gegeben, während die Funktion x: ℝ → ℝ^d die Unbekannte in (1.1) ist. In den meisten Fällen schreibt man für (1.1) kurz

$$ \dot x = f(t,x). $$

(1.2)