Einleitung: Der euklidische Raum

Auszug

Der euklidische Raum ɛ ⁿ ist ein affiner Raum über einem reellen Vektorraum V (ɛ ⁿ) mit positiv-definitem Skalarprodukt. Den unterliegenden Vektorraum V(ɛ ⁿ) können wir nach der Festlegung einer orthonormalen Basis mit dem Koordinatenraum ℝⁿ identifizieren. Der Vektorraum wirkt mittels der Translationen auf dem Punktraum ɛ ⁿ einfach-transitiv. Für zwei Punkte Q und P des euklidischen Raumes ɛ ⁿ bezeichnen wir mit := P−Q denjenigen Vektor, dessen Translation Q auf P abbildet. Sind in diesem Sinne P − Q = (x ₁ − x ₂, y ₁ − y ₂,..., z ₁ − z ₂) die Koordinaten des Vektors P − Q, so ist der Abstand zwischen den Punkten P und Q vermittels der Formel

definiert. Damit werden die euklidischen Räume zugleich metrische Räume. Eine Abbildung f : ɛ ⁿ → ɛ ⁿ nennt man eine Isometrie, falls sie den Abstand zwischen zwei Punkten nicht verändert,

$$ d(f(P),f(Q)) = d(P,Q). $$

.