Differentialrechnung

Auszug

Zunächst wollen wir anhand eines einfachen und überschaubaren Beispiels die Problemstellung der Differentialrechnung aufzeigen. Ausgangspunkt unserer Betrachtung ist dabei die Normalparabel mit der Funktionsgleichung y = f(x) = x². Wir stellen uns die Aufgabe, die Steigung der Kurventangente an der Stelle x = 0,5, d.h. im Kurvenpunkt P = (0,5;0,25) zu bestimmen, und lösen dieses Problem schrittweise wie folgt:

• (1) In der Umgebung von P wird ein weiterer, von P verschiedener Parabelpunkt Q ausgewählt (Bild IV-1). Bezeichnen wir die Abszissendifferenz der beiden Punkte mit Δx, so lauten ihre Koordinaten wie folgt:

  $$ P = (0,5; 0,25), Q = (0,5 + \Delta x; (0,5 + \Delta x)^2 ) $$

  (IV-1)
  

  Die durch P und Q verlaufende Sekante besitzt damit die Steigung

  $$ \begin{array}{l} m_s = \tan \varepsilon = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{(0,5 + \Delta x )^2 - 0,25}}{{\Delta x}} = \frac{{0,25 + \Delta x + (\Delta x)^2 - 0,25}}{{\Delta x}} = \\ = \frac{{\Delta x + (\Delta x)^2 }}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta x + (1 + \Delta x)}}{{\Delta x}} = 1 + \Delta x \\ \end{array}$$

  (IV-2)

  und stellt eine erste Näherung der gesuchten Tangente dar. Die Sekantensteigung m _s hängt dabei erwartungsgemäß noch von Δx, d.h. der Lage des Parabelpunktes Q ab.

• (2) Wir lassen jetzt den Punkt Q längs der Parabel auf den Punkt P zuwandern (Q → P). Dabei strebt die Abszissendifferenz Δx gegen Null (Δx → 0). Beim Grenzübergang geht die Sekante in die Tangente und die Sekantensteigung m _s damit in die Tangentensteigung m _t über. In unserem Beispiel erhalten wir:

  $$ m_t = \tan \alpha = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (1 + \Delta x) = 1 $$

  (IV-3)

  Die Kurventangente im Parabelpunkt P = (0,5; 0,25) besitzt somit den Steigungswert m _t = 1. Symbolisch schreiben wir dafür:

  $$ y'(0,5) = f'(0,5) = 1 $$

  (IV-4)

  (gelesen: y Strich an der Stelle 0,5 bzw. f Strich an der Stelle 0,5). Man bezeichnet diesen Grenzwert als Ableitung der Funktion y = f (x) = x² an der Stelle x = 0,5 und nennt die Funktion an dieser Stelle differenzierbar.