Abtasttheorem

Zusammenfassung

Die Übertragungskanäle der Nachrichten- und der Datentechnik sind in ihrer Frequenzbandbreite beschränkt. Häufig besitzen sie Tiefpaßverhalten erster oder höherer Ordnung. Bei der theoretischen Behandlung wird in der Regel ein idealer Tiefpaß angenommen, d.h. bis zur Grenzfrequenz f_g bleiben die Amplitudenverhältnisse aller Frequenzanteile unter-einander konstant. Oberhalb der Grenzfrequenz werden keine Signalanteile mehr übertragen. Shannon hat gezeigt, daß es genügt, von einem frequenz-bandbeschränkten Signal diskrete Probenwerte zu nehmen, weil aus diesen Probenwerten das Originalsignal wiederhergestellt werden kann. Die Ableitung wird hier in verkürzter Form dargestellt. Man macht für das bandbegrenzte Signal den Ansatz

$$ s(t) = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {a_n \cdot x_n (t)} $$

und verwendet das orthogonale Funktionensystem

$$ \begin{gathered} x_n (t) = \frac{1} {{2B}} \cdot \int\limits_{ - B}^{ + B} {e^{j\omega \cdot \left( {t - \tfrac{n} {{2B}}} \right)} df} \hfill \\ = \frac{{\sin 2\pi \cdot B \cdot \left( {t - \tfrac{n} {{2B}}} \right)}} {{2\pi \cdot B \cdot \left( {t - \tfrac{n} {{2B}}} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} $$