Potenzsummen

Auszug

Es sei die natürliche Zahl k ≥ 0 gegeben. Die Potenzsumme für n lautet:

$$ S_k (n) = 1^k + 2^k + 3^k + \ldots + n^k $$

(1)

Man kann beweisen (durch vollständige Induktion mit Formel (13) unten), dass Sk(n) ein Polynom (k+1)-ten Grades in n ist, das n rationale Koeffizienten hat, d.h. man kann Sk(n) so schreiben:

$$ S_k (n) = \frac{1} {M}(a_{k + 1} n^{k + 1} + a_k n^k + \ldots + a_1 n + a_0 ) $$

(2)

M und ak+1, ak, ..., a1, a0 sind ganze Zahlen, M ist außerdem natürlich. Mit diesen Bedingungen gibt es genau eine Folge (M, ak+1, ak, ..., a1, a0) für die gegebene Zahl k, wenn man fordert, dass M minimal ist. Das Problem ist also die Bestimmung dieser Folge für eine gegebene natürliche Zahl k.