Geodätische

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden weitere Objekte zur Beschreibung Riemannscher Mannigfaltigkeiten eingeführt. Im ersten Abschnitt wird die Differentialgeometrie von Untermannigfaltigkeiten mit Hilfe der 2. Fundamentalform beschrieben, und von diesen wiederum die Hyperflächen genauer untersucht. Da sich unsere direkte Anschauung hauptsächlich auf Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum beschränkt, kann man für diesen speziellen Fall ein wenig besser die geometrische Bedeutung des Krümmungsbegriffs verstehen. Im zweiten Abschnitt werden eingebettete Kurven mit verschwindender 2. Fundamentalform betrachtet, die Geodätischen. Mit ihnen wird zu einem gewählten Punkt p auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit und einer Orthonormalbasis auf T _p M eine kanonische Karte um diesen Punkt konstruiert, die Normalkoordinaten. Die Beschreibung von Metrik, Zusammenhang und Krümmungen in dieser kanonischen Karte führt zu weiteren Interpretationen der Schnittkrümmung, die das Volumen kleiner Bälle und Sphären dominiert. Im letzten Abschnitt wird ein einfaches Kriterium dafür erarbeitet, wann sich zwei beliebige Punkte auf M durch kürzeste Wege verbinden lassen.