Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

Die bisherigen Abschnitte behandelten einige grundlegende Begriffe zu C ^∞-Mannigfaltigkeiten und gehörten damit zur Differentialtopologie. In diesem Kapitel wird den Mannigfaltigkeiten eine weitere Struktur hinzugefügt, die Riemannsche Metrik. Diese eine Struktur wird einerseits bemerkenswerterweise zahlreiche geometrische Definitionen ermöglichen: Winkel und Längen von Vektoren, eine kanonische Volumenform, Länge von Kurven auf Mannigfaltigkeiten, den Abstand zweier Punkte, Krümmungen sowie n-fache Richtungsableitungen von Funktionen und Tensoren allgemein. Andererseits trägt jede Untermannigfaltigkeit des euklidischen R ⁿ kanonisch eine solche Riemannsche Metrik.

In den mittleren Abschnitten wird eine Ableitung von Vektorfeldern und allgemeineren Schnitten in Richtung eines einzelnen Vektors definiert. Dies liefert durch Iteration mehrfache Ableitungen, und eine zweifache Ableitung führt zum Krümmungsbegriff. Schönerweise wird die Krümmung kein Differentialoperator zweiter Ordnung, sondern ein punktweise definierter Tensor. Im letzten Abschnitt werden für die Krümmung zum kanonischen Zusammenhang des Tangentialraums zahlreiche Symmetrien hergeleitet.