Ausgleichsprobleme, Methode der kleinsten Quadrate

Zusammenfassung

In manchen Wissenschaftszweigen, wie etwa Experimentalphysik und Biologie, stellt sich die Aufgabe, unbekannte Parameter einer Funktion, die entweder auf Grund eines Naturgesetzes oder von Modellannahmen gegeben ist, durch eine Reihe von Messungen oder Beobachtungen zu bestimmen. Die Anzahl der vorgenommenen Messungen ist in der Regel bedeutend größer als die Zahl der Parameter, um dadurch den unvermeidbaren Beobachtungsfehlern Rechnung zu tragen. Die resultierenden, überbestimmten Systeme von linearen oder nichtlinearen Gleichungen für die unbekannten Parameter sind im Allgemeinen nicht exakt lösbar, sondern man kann nur verlangen, dass die in den einzelnen Gleichungen auftretenden Abweichungen oder Residuen in einem zu präzisierenden Sinn minimal sind. In der betrachteten Situation wird aus wahrscheinlichkeitstheoretischen Gründen nur die Methode der kleinsten Quadrate von Gauß der Annahme von statistisch normalverteilten Messfehlern gerecht [Lud 71]. Für die Approximation von Funktionen kommt auch noch die Minimierung der maximalen Abweichung nach Tschebyscheff in Betracht [Übe 95]. Das Gaußsche Ausgleichsprinzip führt allerdings auf einfacher durchführbare Rechenverfahren als das Tschebyscheffsche Prinzip.