Partielle Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Zahlreiche Vorgänge oder Zustände, die man in der Physik, Chemie oder Biologie beobachten kann, lassen sich durch Funktionen in mehreren unabhängigen Variablen beschreiben, welche auf Grund von einschlägigen Naturgesetzen bestimmten partiellen Differenzialgleichungen genügen müssen. Die Vielfalt der in den Anwendungen auftretenden partiellen Differenzialgleichungen und Differenzialgleichungssysteme ist sehr groß, und ihre sachgemäße numerische Behandlung erfordert in der Regel sehr spezielle Methoden, so dass wir uns im Folgenden einschränken müssen. Wir betrachten nur die Lösung von partiellen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung für eine unbekannte Funktion in zwei und drei unabhängigen Variablen. Die hier untersuchten partiellen Differenzialgleichungen sind zudem entweder elliptisch oder parabolisch. Im ersten Fall haben alle unabhängigen Variablen die Bedeutung von räumlichen Koordinaten, und die gesuchte Funktion beschreibt in der Regel einen stationären d.h. zeitunabhängigen Zustand. Man spricht hier auch von Gleichgewichtsproblemen. Im anderen Fall ist eine Variable gleich der Zeit, während die übrigen wieder Ortskoordinaten sind, und die Funktion beschreibt einen instationären Vorgang in Abhängigkeit der Zeit. Hier handelt es sich um Evolutions- bzw. Fortpflanzungsprobleme und speziell oft um Diffusionsprozesse. Mit diesen beiden Problemklassen erfassen wir eine große Zahl von praktisch relevanten Aufgabenstellungen, an denen wir einige einfache Lösungsmethoden entwickeln und ihre grundlegenden Eigenschaften diskutieren wollen. Ausführlichere Darstellungen findet man beispielsweise in [Col 66, Hac 96, Lap 99, Mar 86, Mit 80, Mor 94, Kan 95, Gro 05, Smi 85], wo auch andere Typen von partiellen Differenzialgleichungen behandelt werden. Dazu gehört besonders der dritte wichtige Typ der hyperbolischen oder Wellengleichung, auf deren Behandlung wir verzichtet haben.