Orts-Frequenz-Darstellungen

Zusammenfassung

In der Siganlanalyse und Nachrichtentechnik wird theoretisch immer eine Funktion $f(t)$ bezüglich des Modells A1$[-\infty,+\infty]$ betrachtet. Dies entspricht aber nie der Realität. In der Realität haben wir nur ein endliches Intervall zur Verfügung, außerhalb dieses Intervalles setzen wir die Funktion zu Null und erhalten damit eine Funktion $f^{\prime}(t)$. Es soll aber vom Spektrum der Funktion $f^{\prime}(t)$ auf das Spektrum von $f(t)$ geschlossen werden. Ist dies überhaupt möglich? Die Funktion $f^{\prime}(t)$ ergibt sich als Multiplikation von $f(t)$ mit der Rechteckfunktion $\text{rect}(a\cdot t)$. Nach dem Faltungstheorem gilt dann:

$$\displaystyle\alpha_{f^{\prime}(t)}(\nu)=\alpha_{f(t)\cdot\text{rect}(a\cdot t)}(\nu)=C\cdot\alpha_{f(t)}(\nu)*\alpha_{\text{rect}(a\cdot t)}(\nu).$$

(6.1)

Das Spektrum von $f(t)$ wird also durch eine Faltung mit dem Spektrum der Fenster-Funktion „verschmiert“. Nun kann man statt der Rechteckfunktion eine andere Fenster-Funktion $g(t)$ wählen, so dass diese „Verschmierung“ irgendeinem Zielkriterium unterworfen wird. Dazu betrachtet man das Leistungsspektrum $|\alpha_{g}(t)|^{2}$ der Fensterfunktion $g(t)$. Diese Leistungsspektren besitzen einen zentralen Peak und viele Nebenmaxima, die man als „Seitenkeulen“ (side lobes) bezeichnet. Die „Verschmierung“ ist sicher minimal, wenn man diese Seitenkeulen möglichst klein hält und gleichzeitig der zentrale Peak möglichst schnell abfällt. Dazu wird oft die Maßeinheit Dezibel benutzt:

$$\displaystyle\mathrm{dB}=10\cdot\log_{10}x.$$

(6.2)

Es bedarf in der konkreten Anwendung immer einer Erklärung, was für ein Verhältnis darstellt. Nun chrakterisiert man z. B. die Fensterfunktionen durch das Verhältnis der Höhe des ersten (größten) Nebenmaximums zur Höhe des zentralen Peaks und gibt diese Größe für die meisten Fensterfunktionen in (dB) an. Diese Größe sollte also möglichst groß sein. So ist sie z. B. für das Rechteckfenster gleich . Das Minus bedeutet nur, dass man eine Dämpfung meint und keine Verstärkung. Als eine weitere Größe dient die Bandbreite. Man definiert aber in diesem Zusammenhang eine spezielle Bandbreite, z. B. die berühmte Bandbreite , d. h. wann der zentrale Peak im Leistungsspektrum auf die Hälfte abgefallen ist. Diese Größe sollte möglichst klein sein. Auf diese Größen hin sind viele Fensterfunktionen untersucht worden, siehe z. B. . Die bekanntesten Fensterfunktionen sind :Bezüglich der beiden oben aufgeführten charakteristischen Größen des Leistungsspektrums der Fenster-Funktionen ist das Rechteck-Fenster das „schlechteste“ Fenster, und das Kaiser-Bessel-Fenster ist das „beste“ Fenster.