Bildtransformationen

Zusammenfassung

Das Wort Fouriertransformation(en) werden wir im Folgenden mit FT abkürzen, sie ist benannt nach dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830). In Abhängigkeit vom verwendeten Bildmodell gibt es vier FT, unterscheidet man noch eine oder mehrere unabhängige Veränderliche, so erhöht sich dies noch. Wir werden stets die komplexe Schreibweise der FT benutzen, da sich dadurch viele Eigenschaften elegant und kompakt formulieren lassen, gleichzeitig erweitern wir die Anwendbarkeit auf komplexwertige Funktionen. Komplexwertige Funktionen werden wir insbesondere bei Konturen verwenden. Um die komplexe Schreibweise besser zu verstehen, ist die Eulersche Formel eigentlich die Grundlage, siehe (). Die folgenden Ausführungen dienen dazu, bekannte mathematische Grundlagen aufzuschreiben, die wir im Folgenden benötigen. Wir betrachten einen linearen Raum H mit einem komplexwertigen Skalarprodukt:

$$\displaystyle\langle a,b\rangle,\quad a,b\in H\colon$$

(3.1)

Bekannte Beispiele für Skalarprodukte sind:Wenn ein Skalarprodukt ist, dann ist auch ein Skalarprodukt. Normen von Elementen aus kann man viele angeben, aber eine wichtige Norm wird durch das Skalarprodukt induziert. Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn erfüllt ist. Der nächste wichtige Begriff ist der einer Basis des Raumes. Wir nennen die Menge eine Basis, wenn durch sie der ganze Raum aufgespannt wird. Die orthogonalen Basen spielen dabei die zentrale Rolle, weil bei diesen vieles einfacher wird. Die Basis heißt orthogonal, wenn gilt, wobei der Einheitsimpuls ist. Wir entwickeln einmal ein Element nach einer endlichen, orthonormalen Basis dann können wir die Koeffizienten sofort mit den Rechenregeln des Skalarproduktes angeben: Die Koeffizienten nennt man verallgemeinerte Fourierkoeffizienten, die Entwicklung nach der Basis ist dann die verallgemeinerte inverse Fouriertransformation. Nun bilden wir das Skalarprodukt von mit sich selbst: und erhalten die Grundgleichung welche als bezeichnet wird. Oft wird diese auch genannt, im Prinzip stellt sie die abstrakte Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck dar. Wenn keine besonderen Bemerkungen angebracht werden, dann gelten prinzipielle Aussagen für alle Bildmodelle, manchmal gibt es aber kleine Unterschiede, nehmen wir einmal Modell. Die Basisfunktionen fassen wir als Spaltenvektoren auf und schreiben sie in eine Matrix . Ebenso fassen wir alle Koefiizienten als Elemente eine Spaltenvektors auf, ebenso die Elemente als Spaltenvektor. Dann können wir schreiben: Wir können also für das Modell die Hin-und Rücktransformation kompakt in Matrixschreibweise notieren, wobei eine Matrix ist. Alle bisherigen Ausführungen gelten auch für unendlichdimensionale, orthogonale Basen, d. h. abzählbar viele Basiselemente. Nun kann man dies speziell für analoge Funktionen weitertreiben für überabzählbar viele Basisfunktionen, das -te Baisiselement wird zum τ-ten Basiselement: Die Summe wird zum Integral, so dass wir formal erhalten: Die Basisfunktionen nennt man dann oder. Die Koeffizienten erhalten wir dann wieder durch Analogiebetrachtungen: Die Koeffizienten nennt man nun bezüglich des Transformationskernes oder der stetigen (überabzählbaren) Basis .