Geometrie der Abbildungsprozesse

Zusammenfassung

Alle Modellvorstellungen über eine sinnvolle 3D $\rightarrow$ 2D Abbildung werden als Kameramodelle bezeichnet. Es bezeichne ${\mathbf{x}}_{W}=(x_{W},y_{W},z_{W})^{T}$ einen Punkt in einem Weltkoordinatensystem. Weiterhin sei ${\mathbf{x}}_{K}=(x_{K},y_{K},z_{K})^{T}$ ein Punkt in einem 3D-Kamera-Koordinatensystem, wobei stets die z _K -Achse senkrecht zur eigentlichen $(u,v)$-Bildebene sei. Die Transformation vom Weltkoordinatensystem in das Kamerakoordinatensystem geschieht stets durch eine 3D $\rightarrow$ 3D Bewegung, also durch eine Rotation (Rotationsmatrix ${\mathbf{R}}$) und eine Translation ${\mathbf{t}}$. Der Sinn dieser Bewegung besteht darin: Die eigentlichen Abbildungsgleichungen sollen in einem festen Kamerakoordinatensystem beschrieben werden. Dazu benötigen wir die Koordinaten eines realen, abzubildenden Punktes in diesem Kamerakoordinatensystem. Dies ist aber in der Regel nicht möglich, sondern der abzubildende Punkt wird in einem völlig anderen Bezugssystem dargestellt, dem Weltkoordinatensystem. Daher müssen wir jetzt die Koordinaten umrechnen und dies geschieht durch Bewegung des Koordinatensystems. Die Rotation verlangt drei Parameter und die Translation ebenfalls drei Parameter. Diese sechs Parameter werden als Parameter der äußeren Orientierung einer Kamera bezeichnet:

$$\displaystyle{\mathbf{x}}_{K}={\mathbf{R}}\cdot{\mathbf{x}}_{W}+{\mathbf{t}}.$$

(14.1)

Wir schreiben diese Bewegung in homogenen Koordinaten auf:

$$\displaystyle\begin{pmatrix}x_{K}\\ y_{K}\\ z_{K}\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_{11}&r_{12}&r_{13}&t_{1}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}&t_{2}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33}&t_{3}\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_{W}\\ y_{W}\\ z_{W}\\ 1\end{pmatrix}=\tilde{\mathbf{RT}}\cdot\tilde{\mathbf{x}}_{W}.$$

(14.2)

Man beachte: Ist die letzte Koordinate gleich 1, dann stimmen kartesische mit den homogenen Koordinaten überein. Ist dies nicht der Fall, so setzen wir eine „Schlange“ über das Symbol.