Konvergenz- und Approximations-Sätze

Zusammenfassung

Der Vorteil der Lebesgueschen Integrationstheorie gegenüber der Riemannschen ist vorallem durch die stärkeren Konvergenzsätze begründet. Wir beweisen hier die zwei wichtigsten Konvergenzsätze, den Satz von der monotonen Konvergenz und den Satz von der majorisierten Konvergenz. Der letztere Satz sagt aus, dass bei einer Folge (f _k ) von integrierbaren Funktionen, die punktweise gegen eine Funktion f konvergiert, Integration und Limesbildung vertauscht werden kann, falls nur alle Funktionen |f _k | eine gemeinsame integrierbare Majorante besitzen. Außerdem zeigen wir in diesem Paragraphen, dass jede integrierbare Funktion beliebig genau (im Sinne der sog. L ¹-Norm) durch Treppenfunktionen approximiert werden kann. Auf dem ℝⁿ ist eine solche Approximation auch durch stetige Funktionen mit kompaktem Träger möglich.