Geometrie

Zusammenfassung

Die Geometrie der Antike war die euklidische Geometrie, die über 200 Jahre lang die Mathematik beherrschte. Die berühmte Frage nach der Existenz nichteuklidischer Geometrien führte im 19. Jahrhundert zur Entwicklung einer Reihe von unterschiedlichen Geometrien. Daraus ergab sich das Problem der Klassifizierung von Geometrien. Der dreiundzwanzigjährige Felix Klein löste das Problem und zeigte im Jahre 1872 mit seinem Erlanger Programm, wie man Geometrien mit Hilfe der Gruppentheorie übersichtlich klassifizieren kann. Man benötigt dazu eine Gruppe G von Transformationen. Jede Eigenschaft oder Größe, die bei Anwendung von G invariant (d. h. unverändert) bleibt, ist eine Eigenschaft der zu G gehörigen Geometrie, die man auch G-Geometrie nennt. Von diesem Klassifizierungsprinzip werden wir in diesem Kapitel ständig Gebrauch machen. Wir wollen die Grundidee am Beispiel der euklidischen Geometrie und der Ähnlichkeitsgeometrie erläutern.