Zusammenfassung
Hier wird zur Ergänzung einer linearen Schwingungstheorie das wichtige Gebiet geometrisch nichtlinearer Kontinuumsschwingungen erörtert. Im Mittelpunkt stehen 1-parametrige Strukturmodelle, wobei neben dem Einfluss axialer Randkräfte – sowohl konstant als auch oszillierend – der Fliekrafteinfluss auf Seil- und Stabschwingungen und bewegte Saiten und Balken sowie durchströmte Rohre untersucht werden, aber auch schwingende Elastica (in Kreisform). Abschließend wird als Beispiel eines 2-parametrigen Strukturmodells die rotierende Kreisscheibe in ihren wesentlichen Aspekten abgehandelt.
This is a preview of subscription content, log in via an institution.
Buying options
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Learn about institutional subscriptionsNotes
- 1.
Eine tangential mitgehende Zugkraft \(F_{0}\vec{e}_{z}\) in der mitgehenden Basis \(\vec{e}_{k}\) würde alternativ einen Beitrag \(W_{\delta}=F_{0}[u_{,Z}(L,t)\delta u(L,t)+\delta w(L,t)]\) liefern.
- 2.
Die Überlegungen können auf fastperiodische oder stationäre stochastische Fluktuationen ausgedehnt werden.
- 3.
Im Detail kann die kinetische Energie aus dem späteren Ergebnis für Turbinenlaufschaufeln gemäß (8.38) unter Weglassen konstanter Anteile einfach abgeleitet werden.
- 4.
Zur Behandlung gekoppelter Biege-Torsionsschwingungen (unter Einbeziehung von Vorverwindung) wird auf [28] verwiesen.
- 5.
Das Eigenwertproblem \(-(c_{0}^{2}-v_{0}^{2})U^{\prime\prime}+2{\mathrm{i}}\omega v_{0}U^{\prime}-\omega^{2}U=0\), \(U(0)=0\), \(U(L)=0\) für die komplexen Eigenfunktionen \(U(z)\) gewinnt man mit Hilfe des üblichen Ansatzes \(u(z,t)=U(z)e^{{\mathrm{i}}\omega t}\). Zur Diskussion von Adjungiertheits-, Definitheits- und Orthogonalitätseigenschaften ist die bereits für Rotorsysteme in Abschn. 5.5.2 angesprochene Zustandsformulierung adäquat [37].
- 6.
Ein ähnlicher Lösungsweg ist in [21] unter Einbeziehung einer äußeren Dämpfung vorgeschlagen worden.
- 7.
Eine ausführliche Diskussion darüber findet man in [7].
- 8.
Die Krümmungskoordinaten \(\kappa_{1}\) und \(\kappa_{2}\) sind die Projektion der Krümmung κ der Zentrallinie auf die Hauptbiegeebenen (\(\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\)) und (\(\vec{e}_{1},\vec{e}_{3}\)).
- 9.
Dies gilt auch noch bei Beachtung von Drehträgheit, der in [39] gewisse Aufmerksamkeit geschenkt wird.
- 10.
- 11.
Der Ansatz kann natürlich auch in reeller Schreibweise mit trigonometrischen Funktionen in τ und ϕ formuliert werden.
Literatur
Beck, M.: Die Knicklast des einseitig eingespannten, tangential gedrückten Stabes. Z. Angew. Math. Physik 3, 225–228 (1952)
Benjamin, T.B.: Dynamics of a System of Articulated Pipes Conveying Fluid, I. Theory. Proc. Royal Soc. (London) A 261, 457–486 (1961)
Bolotin, W.W.: Kinetische Stabilität elastischer Systeme. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1960)
Botz, M.: Zur Dynamik von Mehrkörpersystemen mit elastischen Balken. Dissertation, TH Darmstadt (1992)
Clemens, H.: Stabilitätsprobleme elastischer Stäbe und Platten mit nichtlinearer Verformungsgeometrie. Dissertation, Univ. Karlsruhe (TH) (1983)
Dym, L.C.: Stability Theory and its Applications to Structural Mechanics. Noordhoff, Leyden (1974)
Elishakoff, I.: Controversy Associated with the So-called “Follower Forces”: Critical Overview. Appl. Mech. Rev. 58, 117–142 (2005)
Hagedorn, P.: Lineare Schwingungen kontinuierlicher mechanischer Systeme Technische Schwingungslehre, Bd. 2. Springer, Berlin/Heidelberg/New York (1989)
Hagedorn, P., DasGupta, A.: Vibrations and Waves in Continuous Mechanical Systems. J. Wiley & Sons, Chichester (2007)
Hetzler, H.: Zur Stabilität von Systemen bewegter Kontinua mit Reibkontakten am Beispiel des Bremsenquietschens Dissertation, Univ. Karlsruhe (TH). Universitätsverlag, Karlsruhe (2008)
Hochlenert, D.: Selbsterregte Schwingungen in Scheibenbremsen: Mathematische Modellbildung und aktive Unterdrückung von Bremsenquietschen Dissertation, TU Darmstadt. Shaker-Verlag, Darmstadt (2006)
Jahnke, E., Emde, F., Lösch, F.: Tafeln höherer Funktionen, 6. Aufl. Teubner, Stuttgart (1960). neu bearbeitet von F. Lösch
Lorenz, M.: Berechnungsmodelle zur Beschreibung der Interaktion von bewegtem Sägedraht und Ingot. Dissertation, TU Freiberg (2013)
Love, A.E.H.: A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, Volume II. University Press, Cambridge (1893)
Mettler, E.: Eine Theorie der Stabilität der elastischen Bewegung. Ing.-Arch. 16, 135–147 (1947)
Özkaya, E., Pakdemirli, M.: Vibrations of an Axially Accelerating Beam with Small Flexural Stiffness. J. Sound Vibr. 234, 521–535 (2000)
Païdoussis, M.P.: Fluid-Structure Interactions: Slender Structures and Axial Flow Bd. 1. Academic Press, London (1998)
Pelchen, C., Wauer, J.: Small Vibrations of Rotating Ring Segments and Full Rings under External or Internal Pressure. J. Appl. Mech. 59, 1038–1040 (1992)
Pelchen, C.: Zur Dynamik eindimensionaler biegeschlaffer, undehnbarer Kontinua, Dissertation, Univ. Karlsruhe (TH) (1994)
Riemer, M.: Zur Theorie elastischer Kontinua mit nichtmateriellen Übergangsbedingungen. Dissertation, Univ. Karlsruhe (TH) (1985)
Roth, W.: Schwingungen von Treibriemen und Ketten. Antriebstechnik 3, 48–53 (1964)
Schmidt, G.: Parametererregte Schwingungen. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1975)
Seemann, W., Wauer, J.: Eigenfrequenzen rotierender Scheiben unter Berücksichtigung der Grundverformung. Z. Angw. Math. Mech. 69, T339–T341 (1989)
Seemann, W., Wauer, J.: Vibration of high speed disk rotors. In: Kim, J.H., Yang, W.-J. (Hrsg.) Dynamics of Rotating Machinery: Proc. 2nd Int. Symp. on Transport Phenomena, Dynamics and Design of Rotating Machinery, Part II, S. 35–50. Hemisphere Publ. Corp., New York, Washington/Philadelphia/London (1990)
Seemann, W.: The Influence of the Rotational Speed on the Transverse Vibrations of Rotating Discs. In: Kim, J.H., Yang, W.-J. (Hrsg.) Dynamics of Rotating Machinery: Proc. 3rd Int. Symp. on Transport Phenomena and Dynamics of Rotating Machinery, Part II, S. 79–94. Hemisphere Publ. Corp., New York, Washington/Philadelphia/London (1992)
Spelsberg-Korspeter, G.: Self-excited Vibrations in Gyroscopic Systems. Dissertation, TU Darmstadt (2007)
Svetlitsky, V.A.: Dynamics of Rods. Springer, Berlin/Heidelberg/New York (2005)
Wauer, J.: Die Beanspruchung schwingender Schaufeln im Fliehkraftfeld. Disseratation, Univ. Karlsruhe (TH) (1972)
Wauer, J.: Querschwingungen bewegter eindimensionaler Kontinua veränderlicher Länge. Habilitationsschrift, Univ. Karlsruhe (TH) Fortschr.-Ber. VDI-Z., Reihe 11, Bd. 26. VDI, Düsseldorf (1976)
Wauer, J.: Der Prandtlsche Kragträger unter konservativer und nichtkonservativer Momentenbelastung. Z. Angew. Math. Physik 29, 333–340 (1978)
Wauer, J.: Stabilität dünner rotierender Kreisringe unter radialem Druck. Z. Angew. Math. Mech. 67, T59–T61 (1987)
Wauer, J., Plaut, R.H.: Vibrations of an Extensible, Air-Inflated Cylindrical Membrane. Z. Angew. Math. Mech. 71, 191–192 (1991)
Weidenhammer, F.: Der eingespannte, axial pulsierend belastete Stab als Stabilitätsproblem. Z. Angew. Math. Mech. 30, 235–237 (1950)
Weidenhammer, F.: Querschwingungen rotierender Seile. Z. Angew. Math. Mech. 50, 385–388 (1970)
Weidenhammer, F.: Gekoppelte Biegeschwingungen von Laufschaufeln im Fliehkraftfeld. Ing.-Arch. 39, 281–289 (1970)
Weigand, A.: Schwingungen fester Kontinua Einführung in die Berechnung mechanischer Schwingungen, Bd. 3. VEB Fachbuchverlag, Leipzig (1962)
Wickert, J.A., Mote Jr., C.D.: Classical Vibration Analysis of Axially Moving Continua. J. Appl. Mech. 57, 738–744 (1990)
Winzen, W.: Theoretische und experimentelle Untersuchungen über den Masseneinfluss bei nichtkonservativen Stabilitätsproblemen. Dissertation, TU München (1976)
Zwiers, U.: On the Dynamics of Axially Moving Strings Dissertation, Univ. Duisburg-Essen. Cuvillier Verlag, Göttingen (2007)
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Rights and permissions
Copyright information
© 2014 Springer Fachmedien Wiesbaden
About this chapter
Cite this chapter
Wauer, J. (2014). Geometrisch nichtlineare Schwingungstheorie. In: Kontinuumsschwingungen. Springer Vieweg, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-8348-2242-0_8
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-8348-2242-0_8
Published:
Publisher Name: Springer Vieweg, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-8348-1819-5
Online ISBN: 978-3-8348-2242-0
eBook Packages: Computer Science and Engineering (German Language)