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Kontinuumsschwingungen pp 279–327Cite as

Geometrisch nichtlineare Schwingungstheorie

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Zusammenfassung

Hier wird zur Ergänzung einer linearen Schwingungstheorie das wichtige Gebiet geometrisch nichtlinearer Kontinuumsschwingungen erörtert. Im Mittelpunkt stehen 1-parametrige Strukturmodelle, wobei neben dem Einfluss axialer Randkräfte – sowohl konstant als auch oszillierend – der Fliekrafteinfluss auf Seil- und Stabschwingungen und bewegte Saiten und Balken sowie durchströmte Rohre untersucht werden, aber auch schwingende Elastica (in Kreisform). Abschließend wird als Beispiel eines 2-parametrigen Strukturmodells die rotierende Kreisscheibe in ihren wesentlichen Aspekten abgehandelt.

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Notes

  1. 1.

    Eine tangential mitgehende Zugkraft \(F_{0}\vec{e}_{z}\) in der mitgehenden Basis \(\vec{e}_{k}\) würde alternativ einen Beitrag \(W_{\delta}=F_{0}[u_{,Z}(L,t)\delta u(L,t)+\delta w(L,t)]\) liefern.

  2. 2.

    Die Überlegungen können auf fastperiodische oder stationäre stochastische Fluktuationen ausgedehnt werden.

  3. 3.

    Im Detail kann die kinetische Energie aus dem späteren Ergebnis für Turbinenlaufschaufeln gemäß (8.38) unter Weglassen konstanter Anteile einfach abgeleitet werden.

  4. 4.

    Zur Behandlung gekoppelter Biege-Torsionsschwingungen (unter Einbeziehung von Vorverwindung) wird auf [28] verwiesen.

  5. 5.

    Das Eigenwertproblem \(-(c_{0}^{2}-v_{0}^{2})U^{\prime\prime}+2{\mathrm{i}}\omega v_{0}U^{\prime}-\omega^{2}U=0\), \(U(0)=0\), \(U(L)=0\) für die komplexen Eigenfunktionen \(U(z)\) gewinnt man mit Hilfe des üblichen Ansatzes \(u(z,t)=U(z)e^{{\mathrm{i}}\omega t}\). Zur Diskussion von Adjungiertheits-, Definitheits- und Orthogonalitätseigenschaften ist die bereits für Rotorsysteme in Abschn. 5.5.2 angesprochene Zustandsformulierung adäquat [37].

  6. 6.

    Ein ähnlicher Lösungsweg ist in [21] unter Einbeziehung einer äußeren Dämpfung vorgeschlagen worden.

  7. 7.

    Eine ausführliche Diskussion darüber findet man in [7].

  8. 8.

    Die Krümmungskoordinaten \(\kappa_{1}\) und \(\kappa_{2}\) sind die Projektion der Krümmung κ der Zentrallinie auf die Hauptbiegeebenen (\(\vec{e}_{2},\vec{e}_{3}\)) und (\(\vec{e}_{1},\vec{e}_{3}\)).

  9. 9.

    Dies gilt auch noch bei Beachtung von Drehträgheit, der in [39] gewisse Aufmerksamkeit geschenkt wird.

  10. 10.

    In-plane-Schwingungen im Fliehkraftfeld werden beispielsweise in [23, 24] korrekt diskutiert.

  11. 11.

    Der Ansatz kann natürlich auch in reeller Schreibweise mit trigonometrischen Funktionen in τ und ϕ formuliert werden.

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  1. KIT Karlsruher Institut für Technologie, Karlsruhe, Baden-Württemberg, Deutschland

    Jörg Wauer

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Wauer, J. (2014). Geometrisch nichtlineare Schwingungstheorie. In: Kontinuumsschwingungen. Springer Vieweg, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-8348-2242-0_8

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